( 55 ) 



De 16 onderzochte vergelijkingen bezitten te zamen slechts 

 vier verschillende discriminanten, die in de eerste kolom zijn 

 geplaatst. In de volgende kolommen vindt men voor elk 

 der vier regelscharen (234), (314), (1 24), (32 l) aangegeven, 

 bij welk tweetal hyperboloïden H de vooraanstaande discri- 

 minaut behoort. 



Al dadelijk valt het in het oog, dat de vier discriminan- 

 ten de factoren van den invariant r zijn, en dat de hyper- 

 boloïden U 5 , Z7" 6 , Hj en II 3 zich geheel anders " gedragen 

 dan de overige. Er blijkt namelijk, dat voor 7^=0, altijd 

 van één dezer vier oppervlakken de beschrijvende lijnen z 

 zullen raken aan de regelscharen (234), (314), (124) en 

 (321). De lijnen z van de hyperboloïden H^ H 2 , /7 3 en H é 

 daarentegen kunnen nooit gemeenschappelijke raaklijnen dezer 

 regelscharen zijn. En nu is het duidelijk, hoe men meet- 

 kundig kan onderzoeken, of vier gegeven lijnen door een 

 jR 3 kunnen worden geraakt. Men behoeft slechts de richt- 

 lijnen g' en g" op te sporen, die de hyperboloïden H met 

 de regelschaar (321) gemeen hebben. Vallen voor een 

 tweetal dezer oppervlakken, bijv. voor // 4 en H s de lijnen 

 g' en g" samen, dan voltooit men de constructie van H s . 

 Zoo men daarna op // 8 een willekeurige beschrijvende lijn 

 z aanneemt, zullen de hyperboloïden (23 ^r) en (14 r), (31^) 

 en (24 2), (12*) en (34 z) paarsgewijze eikaar doorsnijden 

 volgens krommen 2Ü 3 , welke aan 1, 2, 3 en 4 raken. 



Het volledige stelsel dier krommen wordt gevonden, als 

 men de lijn z het oppervlak H s laat doorloopen. 



Desverkiezende echter kan men, zooals Voss opmerkt, 

 ook uit één der rakende ffl door een vrij eenvoudige con- 

 structie alle overige afleiden. 



7. Yoor wij evenwel tot de beschouwing van bet bijzondere 

 geval r = overgaan, willen wij eerst wijzen op een niet 

 onbelangrijke eigenschap der hyperboloïden i/ 5 , H 6 , Il 7 en 

 B s , die het onderscheid tussclien deze vier oppervlakken en 

 de vier overige nog duidelijker in het licht stert. De vier 

 gegeven lijnen kunnen op drie verschillende wijzen in paren 

 worden gerangschikt. Iedere daardoor verkregen combinatie 

 bijv. (23 ; 14) bepaalt, zooals wij zullen zien, eën zooge- 



