( 94 ) 



b. Met een kegelsnede c 2 in i£, die d 2 in twee punten 

 snijdt, komt overeen een kegelsnede q 2 in R v die V^ 2 , 

 raakt in twee punten, overeenkomende met die snijpunten 

 van c 2 en iT 2 , die niet in d 2 gelegen zijn. De beide snij- 

 punten van c*! 2 met een vlak a^ van R 1 komen dan overeen 

 met de beide buiten d 2 gelegen snij punten van c 2 met het 

 oppervlak A 2 van het stelsel. Zoo komt ook met een 

 oppervlak van de tweede orde A 2 , in R door d 2 gebracht 

 en niet tot het stelsel behoorende, een oppervlak A^ over- 

 een van de tweede orde, dat K^ volgens een kegelsnede 

 raakt. Deze kegelsneden en oppervlakken onderscheiden 

 zich van de vorige, doordat zij niet door D l gaan. 



c. De gemelde rechte lijnen, kegelsneden, vlakken en 

 oppervlakken kunnen met K 2 werkelijke of onbestaanbare 

 punten of kegelsneden gemeen hebben. Hiermede stemt in 

 R L de werkelijkheid of onbestaanbaarheid der overeenkomstige 

 elementen overeen. Dezelfde overeenstemming bestaat bij de 

 hoofdstralen van R, gaande door D en de overeenkomstige 

 door D 1 gaande rechte lijnen. Snijden deze laatste ü^ 2 , 

 dan is de involutie der paren gekoppelde punten op de 

 hoofdstralen door D hyperbolisch, met de snijpunten met 

 K 2 tot dubbelpunten, in het tegengestelde geval zijn deze 

 involutiën elliptisch, en er kunnen dus geen paren onbe- 

 staanbare gekoppelde punten op de lijn liggen. 



8. Gaat men nu terug tot het ontstaan van het opper- 

 vlak O 4 met dubbelkegelsnede d 2 , dan ziet men, dat hier- 

 mede in R l overeenkomt een oppervlak van de tweede orde 

 0^, ontstaande door de projectieve vlakkenbundels, welke 

 met de oppervlakkenb andels A 2 B 2 en C Z F 2 overeenkomen. 

 Het onderzoek van alle doorsneden, bijzondere punten, raak- 

 vlakken, enz. van O 4 kan dus teruggebracht worden tot een 

 onderzoek op het oppervlak van de tweede orde. Daarbij 

 gelden dan de volgende regels. 



Het oppervlak O 4 is bepaald door <i 2 , twee d 2 in twee 

 punten snijdende kegelsneden en nog 3 punten ; deze vormen 

 namelijk de bepalende elementen der beide projectieve bundels. 



Door deze gegevens is ook bepaald het stelsel opper- 

 vlakken van de tweede orde en, bij aanname van het punt 



