( 99 ) 



geval dat d 2 onbestaanbaar is en het al of niet aanwezig zijn 

 van deelen van het oppervlak, die in R x bestaanbaar zijn, 

 maar in R uit onbestaanbare gekoppelde punten bestaan, zal 

 aan het einde van dit hoofdstuk behandeld worden. 



12. Uit de gevonden vormen van krommen op O é 

 kunnen gevolgen worden afgeleid. Wanneer men een 

 vlak legt door een kegelsnede c 2 op O*, dan zal het 

 overige deel der doorsnede een tweede kegelsnede f 2 zijn. 

 De beide kegelsneden snijden elkander in vier punten ; twee 

 daarvan behooren tot d 2 ; de andere twee zijn de beide 

 raakpunten van het vlak met O 4 ; het vlak is dus dubbel 

 raakvlak. Er moeten alzoo vijf groepen dubbelraakvlakken 

 zijn ; de vlakken, die de kegelsneden bevatten, overeenko- 

 mende met de beschrijvende lijnen van 0{ 2 en diegene, die 

 de kegelsneden bevatten, overeenkomende met die kegel- 

 sneden van O x 2 , die K\ 2 dubbel raken. 



In R l wordt de eerste soort vlakken vertegenwoordigd 

 door de raakvlakken, uit D Y getrokken aan L 2 en die dus 

 in R door D gaan ; zij omhullen dus, zoowel in R 1 als in 

 R, een kegelvlak van de tweede klasse. 



Overeenkomstig de in N°. 7 en 11 behandelde betrek- 

 kingen wordt de tweede soort vlakken in R 1 vertegenwoor- 

 digd door de oppervlakken van de tweede orde, die K 2 

 volgens een kegelsnede raken, door D l gaan en O x 2 volgens 

 twee kegelsneden snijden. Uit de vastgestelde beginselen 

 volgt nu de volgende constructie. 



Men construeert de vier dubbelprojecteerende kegels van 

 de snijkromme van K-f en 0{ 2 . Men legge een raakvlak 

 aan een dezer kegels ; dit snijdt Y 2 volgens een kegelsnede 

 ei 2 , dubbelrakende aan A^ 2 . Men legge vervolgens een vlak 

 cc l door D 1 en de raakkoorde k Y van Cj 2 en K-^ 2 , a Y snijdt 

 Ki 2 volgens een kegelsnede; daarin construeere men nu 

 een kegelsnede ,/Y 2 , gaande door JD 1 en de doorsnede met 

 K^ in de twee gegeven punten rakende. Is f{ 2 geconstru- 

 eerd, dan zijn er van het oppervlak bekend twee kegelsne- 

 den, die elkander in hare raakpunten met K{ 2 snijden. Een 

 willekeurig vlak ft Y snijdt deze kegelsneden in de punten 

 C lT 6'^ en F v i\ v . Om den vierhoek, door deze punten 



7* 



