( ioo ) 



bepaald, moeten nu de kegelsneden beschreven worden, die 

 de doorsnede ft x K { 2 dubbel raken. De raakkoorden gaan 

 dan door het snijpunt der diagonalen en verdeelen de 

 koordenparen harmonisch; de beide raakkoorden zijn dus 

 construeerbaar en alzoo zijn de beide oplossingen voor het 

 oppervlak bepaald. 



Elk der oppervlakken, door middel van een zelfden dub- 

 belprojecteerenden keg^l bepaald, zal evenwel door een vast 

 punt gaan. Het vlak van de kegelsnede, volgens welke een 

 der oppervlakken O x 2 snijdt, gaat door den top 'J\ van den 

 dubbelprojecteerenden kegel. Trekt men nu de lijn D 1 7\, 

 dan is 7\ een der dubbelpunten van een involutie, van 

 welke de snijpunten van D 1 7\ met K^ twee toegevoegde 

 punten zijn. Daar I) l tot elk oppervlak behoort, zoo be- 

 hoort ook het aan I\ toegevoegde punt dezer involutie D^ 

 tot een oppervlak, dat K{ 2 volgens een kegelsnede raakt, en 

 daar D 1 een vast punt is, is dit ook liet geval met D^ ; 

 de oppervlakken, behoorende bij een zelfden dubbelprojectee- 

 renden kegel, gaan dus door een vast punt. Brengt men de 

 uitkomsten over in de ruimte R, zoo volgt hieruit: 



Elk der vijf groepen van dubbelraakvlakken bestaat uit 

 vlakken, gaande door een punt en een kegel van de tweede 

 klasse omhullende. Deze vijf kegels zijn de naar hun ont- 

 dekker genoemde KuMMEu'sche kegels. 



Hierdoor is dus meetkundig de constructie hunner toppen 

 in Ri en dus ook in R aangegeven. Dat deze kegels van 

 de tweede klasse zijn, blijkt hieruit, door dat in E 1 door 

 een punt twee raakvlakken aan een dubbelprojecteerenden 

 kegel kunnen gebracht worden. 



Aanmerking. Bij de constructie van het dubbelraakvlak 

 blijkt het, dat er in de ruimte JR 1 twee oppervlakken ge- 

 bracht kunnen worden, gaande door D 1 en een aan K x 2 

 dubbelrakende kegelsnede, en tevens voldoende aan de voor- 

 waarde K^ volgens een kegelsnede te moeten raken ; ter- 

 wijl er in R slechts één vlak door een kegelsnede op 

 0* liggende kan worden gebracht. Deze schijnbare tegen- 

 strijdigheid vindt haar oorsprong in het feit, dat met 

 de iwee oppervlakken overeenkomen het vlak, door de 



