( 102 ) 



eenkomstige vlak in R zullen dus de stralen van den bundel 

 de snijkromme met O 4 , behalve in het punt A, nog slechts 

 in één punt snijden, of wel dit vlak is een raakvlak en 

 snijdt O 4 in een kromme met drievoudig punt. Hieruit 

 volgt : 



Daar een raaklijn, uit D x aan K^ 2 getrokken, O x 2 in 

 twee punten snijdt, zoo zijn er twee aan K-^ 2 omgeschreven 

 kegels, die hun toppen op O x 2 hebben, en van welke de 

 raaklijn een straal is ; eveneens zijn er door elke raaklijn 

 aan d 2 twee raakvlakken aan O* te construeeren. 



Laat nu de raaklijn uit D 1 aan K\ 2 zoodanig getrokken 

 zijn, dat zij tevens aan O x 2 raakt; dan vallen de twee 

 evengenoemde omhullingskegels aan Ky 2 te zamen, alzoo 

 ook de beide raakvlakken, door de overeenkomstige raaklijn 

 aan d 2 gebracht ; het punt van c/ 2 , waardoor deze raaklijn 

 getrokken is, is dus een klempunt. Hieruit volgt: 



Construeert men door D L de omhullingskegels aan K^ 2 

 en Oj 2 , dan zullen deze in het algemeen elkander in vier 

 stralen snijden. Deze vier stralen raken O x 2 in de toppen 

 der vier kegels, die met de vier raakvlakken in de klem- 

 punten op d 2 overeenstemmen. 



Door deze klempunten wordt d 2 verdeeld in twee dubbele 

 en in twee geïsoleerde deelen. Hieruit is voor een wille- 

 keurig vlak van doorsnede de aard van de dubbelpunten 

 der doorsnede af te leiden. Daar de beide omhullingskegels 

 elkander iu een of twee stralen kunnen raken, in een straal 

 een osculatie kunnen bezitten, of zelfs een aanraking van 

 de derde orde, zoo zoude men hierop een verdeeling van 

 het algemeene oppervlak kunnen gronden op gelijke wijze 

 als dit vroeger bij de scheeve oppervlakken is geschied. De 

 uitgebreide verdeeling, die evenwel reeds ontstaat door de 

 gemaakte indeeling, maakt het niet wenschelijk ook op deze 

 verdeeling verder in te gaan, vooral omdat het beginsel J*ier 

 is aangewezen. 



De raakvlakken aan d 2 vormen een ontwikkelbaar opper- 

 vlak, waarvaL de klasse bepaald kan worden. Daartoe be- 

 pale men hoeveel vlakken van dit oppervlak er door een 

 punt A kunnen gebracht worden. Dit aantal vlakken stemt 



