( 104 ) 



kegelsnedenbundel op a bepaald, dezelfde blijven, daar zij 

 bestaat uit de snijpunten van den oppervlakkenbundel met 

 a; de puntenrij, door den stralenbundel bepaald, verandert 

 daarentegen, daar ook A verandert. Van deze puntenrij blij- 

 ven evenwel twee punten standvastig. De rechte lijn a wordt 

 namelijk door de aan haar gekoppelde a in een punt S 

 gesneden ; en dit punt komt voor eiken stand van a over- 

 een met hetzelfde punt S' van de tweede puntenrij, daar 

 het de top is van een kegel, tot den eersten oppervlakken- 

 bundel behoorende, met welken kegel slechts één oppervlak 

 van den tweeden bundel homoloog is. Zoo is ook met het 

 snijpunt van d 2 en a een zelfde punt van de tweede pun- 

 tenrij homoloog. Men heeft alzoo op a een vaste puntenrij 

 en een reeks puntenrijen, welke allen twee vaste punten 

 hebben, homoloog met twee vaste punten van de eerste rij. 

 De dubbelpunren, welke men verkrijgt door elk der wisse- 

 lende rijen in projectief verband te brengen met de vaste 

 rij vormen dan een involutie, welker toegevoegde punten 

 de tweetallen veranderlijke raakpunten voorstellen, die men 

 verkrijgt wanneer men a om a laat draaien. De dubbel- 

 punten dezer involutie zijn de plooipunten op a. 



Hieruit volgt na de stelling : 



Een oppervlak van de vierde orde met dubbelkegelsnede 

 bezit 52 plooipunten; 20 zijn gelegen op de krommen van 

 de vierde orde, volgens welke het geraakt wordt door de 

 vijf KuMMER'sche kegels; 32 zijn op de 16 beschrijvende 

 lijnen gelegen *). 



16. In N°. 7 c en 11 werd reeds opgemerkt, dat, wan- 

 neer lijnen of kegelsneden/'met A\ 2 onbestaanbare punten 

 gemeen hebben, dit ook met de snijpunten der overeenkom- 

 stige vormen met K 2 het geval moest zijn. Tevens bleek 

 het, dat werkelijke punten in R 1 zoowel tot werkelijke als 

 tot onbestaanbare punten in R aanleiding kunnen geven. Het 

 is wenschelijk een algemeen middel te bezitten, om die pun- 

 ten in R x , met welke in R werkelijke punten overeenkomen 



*) Den naam plooipunt neem ik over van Dr. D. J. Korte weg. Zie Sit- 

 zungsberichte d. k. Ak. cl. Wissenschaften. Wien. Bd. XCVIIT. Juli 1889. 



