( 107 ) 



voorloopig weder aangenomen wordt, dat d 2 een werkelijke 

 kegelsnede is. De algemeene betrekking tusschen de ruimten 

 R en R Y wordt nu gewijzigd; die wijzigingen, welker ken- 

 nis, met het oog op het volgende, onmisbaar is, zullen 

 nu worden aangegeven. 



Het oppervlak K 2 gaat over in het kegeloppervlak K 2 , 

 dat het vaste punt Z>, dat aan alle oppervlakken gemeen 

 is, tot top heeft, en de kegelsnede d 2 tot richtlijn. Met 

 een lijn a, door D getrokken, komt in N l een lijn a x 

 overeen, door D Y getrokken ; doch, daar de punteninvolutie 

 op a parabolisch is, zoo komt met elk punt op o^ slechts 

 één punt op a overeen. Gaat de straal uit D door een punt 

 A van g? 2 , ligt hij alzoo op K 2 , dan zijn alle punten van 

 D A toppen van kegels, tot het stelsel behoorende ; met 

 deze kegels komen in R^ overeen vlakken, die eveneens 

 door een lijn moeten gaan ; hieruit volgt : 



Met alle kegelvlakken van het stelsel komen in R l over- 

 een vlakken, gaande door raaklijnen aan een kegelsnede 

 c^ 2 , in een vlak Si gelegen. 



Met een vlak cc 1 in R L komt overeen een oppervlak A 2 

 in i2, gaande door d 2 en D; dit oppervlak snijdt dus K 2 

 volgens twee beschrijvende lijnen. Met deze lijnen komen 

 overeen de lijnen, getrokken van D 1 naar de snijpunten van 

 «! met d-^ en de snijlijn «j <Jj_ zelve. Met de lijnen, getrok- 

 ken in «j door de snijpunten van a^ met d : 2 , komen de 

 beschrijvende lijnen van A 2 overeen. 



En volmaakt op dezelfde wijze komt met een vlak a in 

 R een oppervlak A^ in R 1 overeen, gaande door d-f en 

 D v Met de beschrijvende lijnen op A^ komen de beide 

 stralenbundels door de snijpunten van a met d 2 overeen; 

 en met de verbindingslijn dezer snijpunten komen de beide 

 beschrijvende lijnen door D l overeen. 



Met alle lijnen, door' een punt van d^ getrokken, komen 

 in R overeen lijnen, die d 2 snijden en tevens een punt ge- 

 meen hebben met den kegelstraal, uit D getrokken naar 

 het overeenkomstige punt van d 2 . Het omgekeerde geldt 

 van de lijnen, getrokken door een punt van d 2 . 



Uit dit alles volgt, dat het oppervlak K^ zich heeft 



