( 111 ) 



ken valt, is dat alle vlakken, gebracht door de lijn D Y A Y , 

 0j a in twee beschrijvende lijnen snijden. Met deze vlakken 

 komen dus in R overeen vlakken, die O* snijden in twee 

 kegelsneden, hebbende met elkander steeds de gekoppelde 

 punten A en A' gemeen. De punten A en A' ziju dus dub- 

 belpunten. Wordt het vlak door D l A x een raakvlak aan 

 2 3 , dan wordt in R de snijding een enkele kegelsnede. 

 Dit oppervlak O 4 bezit dus twee raakvlakken, die volgens 

 een enkele kegelsnede raken. 



De kegel } 2 zal in het algemeen vier stralen bezitten, 

 die K^ raken ; hieruit volgt : 



Door elk der dubbelpunten gaan vier rechte lijnen, die 

 geheel op O 4 liggen ; deze acht rechte lijnen snijden elkander 

 twee aan twee in punten van het kernoppervlak K 2 . Daar 

 verder de vier raakpunten der raaklijnen uit A Y aan K^ 

 in het poolvlak van A 1 ten opzichte van K^ liggen, zoo 

 liggen in R de vier homologe punten in een vlak, overeen- 

 komende met het oppervlak van de tweede orde, dat door 

 D Y gaat en K Y 2 raakt volgens het poolvlak van A l ten 

 opzichte van K x 2 . 



Twee KuMMER'sche kegels worden vervangen door het 

 vlakkenpaar, dat de raakkegelsneden bevat ; er blijven er drie 

 over, die op de gewone wijze geconstrueerd worden, en wel- 

 ker toppen volgens N°. 12 in het poolvlak van A 1 ten op- 

 zichte van K x 2 hunne vertegenwoordigers in R x vinden. 



De klempunten liggen iu de KuMMER'sche vlakken, door 

 de kegelpunten A A' gebracht. Alle punten der kegelsneden 

 in de beide KuieiER'sche vlakken moeten als plooipunten 

 worden beschouwd. 



Ook bij dit oppervlak geeft de beschouwing van het geval, 

 dat d 2 imaginair is, na het opgemerkte hieromtrent bij het 

 geval A, geen stof tot bijzondere beschouwingen. 



Geval D. 



22. Bij dit geval begint de beschouwing van de bijzon- 

 dere standen, die X 2 in de ruimte R x innemen kan. Daar 

 deze vele in getal zijn, zoo zal gedurig de opsomming der 



