( 116 ) 



de stralen van zulk een raakkegei uit P l snijden 0^ nog 

 in een tweede punt. Valt evenwel P Y in een snijpunt der 

 vier kegelsneden, dan gaat de raakkegei over in een raak- 

 vlak en de stralen door dit punt zijn de raaklijnen aan 

 O x 2 . In R zal dus het overeenkomstige punt van d 2 de 

 eigenschap bezitten, dat de lijnen, daardoor in het raakvlak 

 getrokken, de snijkromine van dat raakvlak met O 4 in vier 

 samenvallende punten snijden. Daar dit punt dus de rol 

 van een viervoudig punt speelt, is het een sluitpunt (close- 

 point van Cayley). De keerkegelsnede heeft dus twee sluit- 

 punten, waarvan de constructie thans is aangegeven. Door 

 elk der beide sluitpunten gaan vier op O 4 liggende rechte 

 lijnen ; zij liggen in de vlakken, met de raakvlakken aan 

 O x 2 in de beide snijpunten der kegelsneden overeenko- 

 mende, en komen overeen met de beschrijvende lijnen van 

 0^ in die vlakken. Behalve de kegel uit D zijn er nog 

 twee KuMMER'sche kegels. 



Uit dezen stand laten zich nu de andere bijzondere stan- 

 den dadelijk afleiden. 



/. De beide sluitpunten op d 2 vallen samen. 



m. Behalve de keerkegelsnede is er nog een kegelpunt. 

 De oppervlakken 2 2 en K^ snijden elkander in dit geval 

 volgens een kegelsnede en twee elkaar snijdende lijnen, die 

 de kegelsnede snijden. 



n. Het snijpunt der beide bij m genoemde rechte lijnen 

 valt op de kegelsnede ; waaruit volgt, dat het kegelpunt in 

 de beide samenvallende sluitpunten valt. 



Geval E. 



27. Dit geval houdt zich bezig met die bijzondere stan- 

 den van 0^, welke voor kunnen komen als het stelsel op- 

 pervlakken een vast punt heeft, 'twelk aan alle oppervlakken 

 gemeen is. Daar de algemeene stand van 0-^ voor deze aan- 

 name bij het geval B besproken is, zoo zal, op het voet- 

 spoor van geval D, weder eerst de opsomming van de bij- 

 zondere standen gegeven worden. 



a. 0^ raakt aan het vlak S^ 



