( 124) 



dende lijnen is overgegaan, dan is een der KuMMER'sche 

 kegels overgegaan in de rijnen a en b. 



Er zullen eveneens acht beschrijvende lijnen van 0^ zijn, 

 die aan K{ 2 raken; niet elk dezer lijnen komt in R een 

 paar gekoppelde lijnen overeen, waarvan er een a en de 

 andere b snijdt, en die elkander in een punt van K 2 snij- 

 den. Daar verder twee beschrijvende lijnen van 0^, die 

 K^ in dezelfde beschrijvende lijn raken, in een raakvlak aan 

 K-^ liggen, zoo zijn er in het geheel vier vlakken door a, welke 

 met vier vlakken door b vier vlakkenparen vormen en waarin 

 de zestien rechte lijnen liggen. Uit deze aanwijzing zal men 

 de ligging der zestien rechte lijnen kunnen bepalen. 



Past men de methode van N°. 14 toe tot het bepalen 

 der klempunten op de dubbelkromme, dan ziet men, dat elk 

 der raakvlakken D 1 a Y en D Y b l den omhullingskegel van 

 D 1 aan O x 2 in twee stralen snijdt; met deze stralen komen 

 in R overeen de lijnen, naar de klempunten getrokken ; men 

 ziet dus, dat er op elk der dubbellijnen a en b twee gele- 

 gen zijn. Er kunnen ook een of twee dubbele klempunten 

 ontstaan. 



Bij de plooipunten van dit oppervlak valt op te merken, 

 dat er, behalve de plooipunten, liggende op de zestien 

 rechte lijnen en die op de ruimtekrommen van de vierde 

 orde, nog gelegen zullen zijn op de dubbellijnen a en b. 

 De kegelsneden, volgens welke vlakken door a of b O 4 

 snijden, hebben namelijk twee snijpunten met deze lijnen; 

 er zullen evenwel standen zijn, voor welke de kegelsneden 

 raken. Ten einde deze te bepalen, denke men zich eerst 

 een vlak a^ rakende aan i^ 2 ; dit snijdt het vlak D Y a-^ 

 volgens een lijn l Y en het beeld-oppervlak O x 2 in een ke- 

 gelsnede c^. Uit elk punt van l x kunnen twee raaklijnen 

 aan c x 2 getrokken worden; deze raaklijnen komen overeen 

 met de raaklijnen, uit een punt van a getrokken aan de 

 kegelsnede, volgens welke het overeenkomstige vlak et door 

 a O 4 snijdt. Ware l Y een raaklijn aan q 2 , dan zoude er 

 slechts één raaklijn door een punt van l Y aan c x 2 mogelijk 

 zijn en dus de overeenkomstige kegelsnede in R a raken. 

 Hieruit volgt: 



