( 128 ) 



soort; in het geval c ontstaan er twee gekoppelde kegel- 

 punten, die in het geval d in een biplanaar punt van de 

 tweede soort overgaan ; terwijl het geval a met het geval B, 

 het geval c met het geval C overeenstemt. De standen e 

 en de daaraanvolgende vergen nadere bespreking. 



e. Wanneer P 1 op O x 2 ligt, dan komen met de rechte 

 lijnen door P l overeen de paren gekoppelde lijnen door P. 

 Nu snijdt evenwel een lijn l Y 2 2 nog slechts, behalve in 

 P 1? in één punt; elk der met / overeenkomende gekoppelde 

 lijnen l en l' snijdt dus O 4 in slechts één punt; het punt 

 P is dus een punt geworden, zoodanig dat een lijn, daar- 

 door getrokken, O 4 ' in één punt snijdt; P is dus een drie- 

 voudig punt. De kegel van de derde orde, die de raakkegel 

 van dit punt moet zijn, heeft zich evenwel gesplitst in twee 

 deelen t. w. in het vlak S van a b en in een kegel van 

 de tweede orde, overeenkomende met het raakvlak in Pj_ 

 aan Oj 2 geconstrueerd. Alle rechte lijnen, door P l in dit 

 vlak getrokken, zullen eveneens O x 2 in geen ander punt dan 

 P x snijden. Dit drievoudig punt kan, wegens het aanwezig 

 zijn van slechts één raakvlak in dit punt, een planaar drie- 

 voudig punt heeten. Uit dit punt gaan vier rechte lijnen 

 op O* liggende; zij komen overeen met de twee beschrij- 

 vende lijnen van O, 2 door Pi getrokken. Daar er verder 

 nog vier beschrijvende lijnen op Oj 2 liggen, die K{ 2 raken, 

 zoo heeft O 4 , behalve de vier genoemde, nog acht rechte 

 lijnen, welke geheel op haar liggen. Behalve den bijzonderen 

 KuMMER'schen kegel uit den top P en den kegel a 6, con- 

 strueert men de overige twee KuMMER'sche kegels door eerst 

 in R l de dubbelprojecteerende kegels van de snijkromme 

 van 0-^ en K-^ te construeeren. 



ƒ. Wederom vertoont zich in P het drievoudige punt, 

 maar het raakvlak aan O x 2 in Pj is nu tevens een raak- 

 vlak aan K^; de kegel van de tweede orde, bij den vorigen 

 stand ontstaande, splitst zich dus nu in twee vlakken, een 

 door a en een door b; het drievoudig punt P wordt triplanaar. 

 g. Nevens het drievoudig punt, dat planaar is, ontstaat 

 nog een kegelpunt met het planaar punt verbonden door 

 een lyn op O 4 . 



