( 132 ) 



gekoppelde dubbelpunten tot een biplanaar punt van de 

 tweede soort samenvallen, van welk punt de bijzondere 

 raaklijn niet op het oppervlak ligt; dit geval stemt overeen 

 met geval D, stand d. In het geval b zijn er drie kegel- 

 punten even als geval E, stand c. In het geval c is er bij 

 het kegelpunt een biplanaar punt van de tweede soort ge- 

 vormd en wordt er alzoo een uniplanaar punt gevormd. 



Bij den stand d ontstaan er vier kegelpunten in het geheel. 



De standen e tot h hebben betrekking op het ontstaan 

 van drievoudige punten, even ais dat bij de gevallen D en 

 E het geval was. Voor den stand e verkrijgt men de ver- 

 binding van een drievoudig punt met twee gekoppelde kegel- 

 punten. Het drievoudig punt is planaar ; de raakkegel 

 wordt vertegenwoordigd door het raakvlak in P T aan O x 2 . 

 Uit dit drievoudige punt gaan twee rechte lijnen, elk naar 

 een der dubbelpunten. Dit geval stemt overeen met geval 

 D, stand i. Voor het geval ƒ gaat het drievoudige punt 

 in een triplanaar punt over. 



Bij den stand g ligt de top A l van O x 2 op K^ en de 

 top P Y van K Y 2 op 0{ 2 . De beide kegelpunten hebben 

 zich nu vereenigd tot een biplanaar punt van de tweede 

 soort; terwijl het drievoudige punt planaar is gebleven. 



Eindelijk hebben bij het geval k de beide kegels een 

 zelfde raakvlak langs een gemeenschappelijken straal. Het 

 drievoudige punt is dus triplanaar geworden, terwijl het 

 dubbelpunt een biplanaar punt van de tweede soort is. Hier- 

 door ontstaat geval E, stand h. 



Geheel anders wordt de gedaante van O* bij de nu vol- 

 gende standen i tot n. Deze gevallen toonen overeenkomst 

 met die gevallen van de eerste groep, waarbij het beeldop- 

 pervlak ingeschreven was in den omhullingskegel van V l 

 aan K^. Ontstond in dat geval een keerkegelsnede, zoo 

 moeten nu op dezelfde wijze de dubbellijnen overgaan in 

 keerlijnen. 



i. Beschouwen wij eerst den stand van den kegel 0^, 

 waarin hij aan het vlak D^ a 2 raakt, maar de top overi- 

 gens een willekeurige plaats inneemt. De raakvlakken 

 aan kegel K{ 2 snijden 0{ z volgens kegelsneden, rakende 



