( 133 ) 



aan D } a^ Met elk dezer raakvlakken (n°. 36) komt ren 

 vlak door a overeen, 't welk dus O* snijdt volgens a en 

 een kegelsnede aan a rakende (n°. 37); a is dus een keerlijn 

 van O 4 . Verbindt men A x met Z> 1? dan komen met A l twee 

 gekoppelde punten in R overeen; daar A^ evenwel in 

 D l aj ligt, is een dezer punten in a gekomen. De vlakken 

 door I) 1 A x snijden 0^ volgens twee rechte lijnen, met 

 welke in R overeen komen twee kegelsneden, die met elk- 

 ander gemeen hebben een punt van 6, het met A l over- 

 eenkomende en niet in a liggende punt A, en elkander 

 raken in een punt van a. Daar dit voor alle vlakken door 

 D 1 A x het geval is, zoo is A een dubbelpunt van het op- 

 pervlak 6^, terwijl het daarmede gekoppelde punt in a een 

 sluitpunt van de keerlijn is. 



De beide zooeven genoemde kegelsneden zullen elkander 

 in dit punt raken. Het tweede sluitpunt op a is het punt, 

 overeenkomende met het snijpunt van a T en den straal van 

 1 2 , die in D^ a l ligt. Het daardoor gaande raakvlak is 

 het vlak D a, dat O* snijdt, behalve in a, in twee lijnen, 

 waarvan er een samenvalt met a en de andere naar A 

 gaat. 



k De methode, bij den vorigen stand gebruikt, kan nu 

 ook worden toegepast ; de beide in den vorigen stand ge- 

 scheiden sluitpunten hebben zich nu vereenigd ; terwijl 

 gelijktijdig het kegelpunt van het voorgaande geval op de 

 keerlijn terecht is gekomen. 



I. Als K^ door 0^ volgens twee kegelsneden gesneden 

 wordt, dan zal er nog een tweede kegelpunt ontstaan, en 

 het oppervlak 0^ heeft dus in het geheel twee kegelpunten, 

 terwijl de sluitpunten als voren bepaald worden. 



m. In dit geval verkrijgt men, als bij den stand ƒ, 

 een triplanaar punt, maar de lijn a is keerlijn, daar 

 Dl a Y het gemeenschappelijke raakvlak der beide kegel- 

 vlakken is. 



n. Eindelijk zal bij dit geval zoowel de rechte lijn a 

 als de rechte lijn b een keerlijn zijn; het dubbelpunt is op 

 de lijn D P komen te liggen. Op elk der keerlijnen is 

 er een sluitpunt en er liggen nog twee rechte lijnen op 



