( 137 ) 



53. Laat nu in R 1 het beeldoppervlak 0^ een algemeen 

 oppervlak van de tweede orde zijn. De groepen kegelsne- 

 den, die op O* liggen, worden thans in R Y vertegenwoor- 

 digd door de rechte lijnen op 0^ en de kegelsneden, vol- 

 gens welke vlakken door a 2 gebracht 0^ snijden ; buiten- 

 dien zijn er nog twee groepen, die men verkrijgt, wanneer 

 men de beide nog overschietende KuMMER'sche kegels con- 

 strueert. Om deze te verkrijgen, dient men de beide kegels 

 te construeeren, bepaald door de doorsnijding van 0-^ met 

 de beide vlakken K^. 



Met de punten A 1 en B v in welke O x 2 de lijn a Y snijdt, 

 komen twee punten A en 5 op ö overeen. Trekt men 

 door A 1 en B l lijnen, dan komen daarmede in R over- 

 een lijnen; daar evenwel de lijnen in R l het oppervlak 0^, 

 behalve in A^ slechts in één punt snijden, zoo snijdt elk 

 der lijnen van de gekoppelde paren in R het oppervlak 

 O 4 *, behalve in A, in slechts een enkel punt; hieruit volgt, 

 dat zoowel A als B een drievoudig punt is. Wat betreft 

 het soort drievoudige punten, zoo zijn A en B beide pla- 

 naar ; met de raakvlakken in A Y en B 1 aan Oj 2 komen 

 de raakkegels in A en B overeen. 



Door A± en B l gaan verder in het geheel vier beschrij- 

 vende lijnen van 0^ ; hieruit volgt, dat O 4 in het geheel 

 acht rechte lijnen bezit, waarvan er door elk drievoudig 

 punt vier gaan; dit viertal rechte lijnen ligt gedurig op 

 een raakkegel; en elk dezer vier wordt door een der vier 

 uit het andere drievoudig punt gesneden. 



De beide drievoudige punten moeten ook beschouwd worden 

 als toppen van KuMMER'sche kegels ; in de dubbele knooplijn 

 a zijn deze twee kegels samengevallen, terwijl nog over- 

 blijft die kegel, die met den omhuliingskegel uit D 1 aan 

 Oj 2 overeenstemt. 



Daar de lijn a geheel en al een dubbele knooplijn is, 

 zijn klempunten verdwenen, wel kan men een ander bijzon- 

 der punt opsporen. 



Legt men namelijk door D l vlakken, dan zullen deze a^ 

 in een punt C r en 0^ in een kegelsnede c-f snijden. Uit 

 het punt C-l kunnen in het algemeen twee raaklijnen aan 



