( 138 ) 



Cj 2 getrokken worden ; ra et deze raaklijnen komen in R 

 overeen de twee paren gekoppelde lijnen, die de vier raak- 

 lijnen van den dubbelknoop C aan de snijkromme é vor- 

 men. Laat nu evenwel het snijvlak gelegd worden dooi- 

 de lijn, die uit D l getrokken, de snijkromme van het vlak 

 D l aj met : 2 raakt. Noemt men nu C 1 weder het snij- 

 punt dezer lijn met a T , dan valt een der beide bovenge- 

 noemde raaklijnen met D 1 C 1 te zamen, 't geen ten gevolge 

 heeft, dat in R van de vier raaklijnen er twee onveranderd 

 blijven bestaan ; van de twee andere valt er een in de raak- 

 lijn aan de dubbelknoop, de andere is D a. De dubbelknoop 

 is dus voor dezen stand in een snavelpunt overgegaan ; daar 

 er uit D x twee raaklijnen in het vlak D x a Y aan 0-^ 

 kunnen getrokken worden, bezit de dubbele knooplijn twee 

 snavelpunten. De beide raakvlakken door deze aan den 

 KuMMER'schen kegel, die D tot top heeft gebracht, snijden O 4 

 volgens kegelsneden, die elkander in het snavelpunt osculeeren. 

 54. Het onderzoek naar die punten van de ruimte R x , 

 met welke onbestaanbare gekoppelde punten overeenkomen, 

 kan volgens de vroegere methoden geschieden. Men heeft 

 gezien, dat de vlakkenparen in R een involutie vormen, 

 van welke de vlakken, waarin K 2 is overgegaan, de dub- 

 belvlakken zijn. De vlakken D a en d liggen verder har- 

 monisch ten opzichte dezer dubbelvlakken, die voortaan a 

 an ft zullen heeten. De meetkundige plaats van alle pun- 

 ten in R±, die overeenkomen met de punten van a en 

 /?, zijn de twee vlakken « 2 en fty, die ook ten opzichte 

 van Dy a Y en 8^ harmonisch liggen. Zooals in overeen- 

 stemming met het voorgaande blijkt (n°. 38;, zijn er twee 

 gevallen mogelijk. 



a. a en ft zijn bestaanbaar. Die punten van 22 lT die 

 in den tweevlakkenhoek liggen, in welken D x ligt, bene- 

 vens in den daar tegenoverstaanden, komen overeen met 

 de bestaanbare gekoppelde punten van R ; de andere punten 

 komen overeen met de onbestaanbare gekoppelde punten. 



b. a en ft zijn onbestaanbaar. Met alle punten van Rj 

 komen bestaanbare gekoppelde punten van R overeen. 



