( 240 ) 



In het laatste geval zou de differentiaalvergelijking de t 

 niet bevatten. Noemen wij dan m^ den wortel der karak- 

 teristieke vergelijking, die verdwijnt, dan neemt het eerste 

 hulpstelsel den vorm aan 



dx dy dz dp dg dr -f- w^ ds ds 4- mi dt 

 l~~0~~p~'r~~s' 



en levert onder andere op de volgende integralen 



y = «, t = j^ + c'= [/'{rfdr + c'. 



De differentiaalvergelijking heeft dus de eerste integraal 



t = if'(rYdr + y"(y), 



terwijl het tweede hulpstelsel nog altijd de integraal 



y — mi x = qp (m^ 

 oplevert. De laatste kunnen wij schrijven in den vorm 



x + yf'(r) = /(r) (36) 



Men heeft dan 



dp = rdx + sdy = r{(x"(r)-yf"(r))dr---f'(r)dy}+f(r)dy 

 of 



dp= {r%"(r)-yrf'(r)) dr + {f(r)-rf(r)}dy, 



en evenzoo 



dq = { ƒ (r) x"(r)-y ƒ«/»}&•+ (y" (#- ƒƒ (r)y " (r)dr) dy. 

 Door integratie heeft men hieruit 



p = y (f-rf)+ r Z —z, g = -ylff"dr+>p'(y) + ffx"dr; 



