( 344 ) 



bepaalde beschrijvende lijnen aan en zijn de vier buigraak- 

 lijnen tevens raaklijnen aan een oneindig aantal krommen 

 R 3 , In het geval eener harmonische kromme (A = oo ) 

 maakt elke lijn 4 deel uit van een van drie bepaalde con- 

 gruenties (1, 1). En in het geval ^4=1 heeft de kromme 

 R* x een dubbelpunt. 



Alvorens tot de asymmetrische gevallen u 2 +- u 3 = u Y -f- u^ 

 enz. over te gaan, gaat de schrijver na welk verband er 

 bestaat tusschen de vier punten, waarin vier willekeurig 

 gegeven lijnen t, die niet voldoen aan de voorwaarde 

 a -J- b -f- c = en dus geen buigraaklijnen kunnen zijn, 

 door een kromme R^ kunnen worden aangeraakt, als deze 

 vier raakpunten weer in een zelfde vlak gelegen moeten zijn. 

 Hij komt dan tot het besluit, dat er vier nieuwe lijnen y 

 te vinden zijn, die de eigenschap bezitten, dat elk vlak 

 gaande door een dier lijnen y de vier gegeven lijnen t snijdt 

 in vier » geassocieerde raakpunten," d. w. z. in vier punten, 

 waar de lijnen t door een kromme R^ kunnen worden 

 aangeraakt. En de betrekking tusschen de vier lijnen t 

 ter eene en de vier lijnen y ter andere zij is geheel invo- 

 lutorisch ; m. a. w. elk vlak gaande door een der lijnen t 

 snijdt de vier lijnen y in geassocieerde raakpunten, de lijnen 

 y als raaklijnen beschouwd. Hieruit moet dan wel volgen 

 — wat de schrijver niet opmerkt — , dat de vier lijnen y aan 

 de betrekking a -j- b + c = voldoen, als dit met de gege- 

 ven lijnen t het geval is. Zoo rangschikken de krommen 

 i^ 4 , die vier gegeven lijnen tot buigraaklijnen hebben, zich 

 in vier groepen, die bij de verschillende lijnen y behooren, 

 en is de meetkundige plaats der krommen van elke groep 

 een oppervlak van den achtsten graad. Dit onderzoek, dat 

 sommige punten der vorige verhandeling in een nieuw licht 

 verschijnen doet, wordt besloten met de constructie van 

 een kromme i^ 4 , die vier willekeurig gegeven lijnen aan- 

 raakt, en die van een kromme i^ 4 , die vier aan de voor- 

 waarde a + b -h c = voldoende lijnen tot buigraaklijnen 

 heeft. 



Ten slotte beschouwt de schrijver het asymmetrische ge- 

 val u% + u 3 = w 2 -)- w 4 . Hier is ( — a + b -j- c) 4 = 64 a% c 



