( 352 ) 



altijd een achttal » geassocieerde" punten, die de basispunten 

 vormen van een net van oppervlakken van den tweeden graad. 

 Deeling door den factor 2 splitst de vergelijking in vier 

 andere, waarvan slechts eene tegelijk kan worden bevredigd. 

 Zoo geraken wij tot de onderscheiding der vier gevallen : 



I) u x + u 2 + u s + u é = (o , of u 2 + u 3 = u l + m 4ï 



II) u Y + u 2 + U S -f u é = co -f- co', of u 3 + « x = u 2 -f u 4 , 



III) U X -f U 2 + W 3 4- ?« 4 = CO' , Of Mj -f- W 2 = U 3 + W 4 , 



IV) uj +m 2 + « 3 -)-%=0. 



In elk der gevallen is door de keuze van drie der buig- 

 punten het vierde bepaald. In het laatste heerscht er 

 volmaakte symmetrie, die in de drie eerste ontbreekt. De 

 meetkundige beteekenis van de betrekkingen tusschen de 

 argumenten is namelijk, dat in het geval I de lijnen B 2 B s en 

 Bj Z? M in het geval II de lijnen i? 3 B 1 en B 2 B^ in het 

 geval III de lijnen B^ B 2 en B% B± beschrijvende lijnen zijn 

 van dezelfde groep op een regelvlak van den tweeden graad, 

 dat R± bevat. *) 



In het symmetrische geval IV echter liggen de vier 

 buigpunten in een vlak. Die onderstelling komt bij het 

 verdere onderzoek der vier raaklijnen t het eerst in aanmerking. 



4. De invariante voorwaarde in het geval IV. 



Hier kunnen wij stellen 



v \ = u 2 ~ w 3> v 2 = w 3 — M H V S = u \ — u <& 



waarbij 



v 1 + v 2 + v 3 = 0, 



en vinden dan 



2 v l = co, 2 v 2 = co -\- co' , 2i? 3 = co', 



u x — m 4 ■=■ Vi -\- co 4- co', u 2 — w 4 = v 2 -f co', w 3 — w 4 =v 3 -j-co. 



De vergelijkingen (C) kunnen geschreven worden in de 

 gedaante 



*) Haj^hen, II, blz. 451. 



