( 374 ) 



eene homographische transformatie op de eerste kromme, 

 waarbij de punten der lijnen ƒ' en ƒ" met zichzelven over- 

 eenkomen. 



Zijn wij hierbij van de lijn y l uitgegaan, evengoed hadden 

 de lijnen ?/ 2 , ?/ 3 , 2/4, kunnen dienen. In het geheel worden 

 derhalve vier verschillende groepen van R^ gevonden. De 

 krommen van elke groep zijn blijkbaar gelegen op een re- 

 gel vlak van den achtsten graad, dat £ 1? . . t\ tot dub- 

 bele beschrijvende lijnen en /' en ƒ" tot viervoudige lijnen 

 heeft. 



14. Eene eigenschap der hyperboloïden H^ i/ 2 , /7 3 , H±. 

 Zooals in de reeds meermaal aangehaalde verhandeling werd 

 besproken, geven vier kruisende lijnen tj, . . t± aanleiding 

 tot de beschouwing van drie nulstelsels van de derde orde, 

 die door (14; 23), (25; 31), (34; 13) werden aangeduid. 

 Namelijk gaat door een willekeurig punt eene snijlijn van 

 ti en £4, eene snijlijn van £ 3 en H 5 ne t vlak dezer snijlijnen 

 kan het nulvlak genoemd worden van het punt voor het 

 nulstelsel (14; 23). Bewezen werd, dat het nulpunt eene 

 ruimtekromme R 3 doorloopt, die t i% . . U tot koorden 

 heeft, wanneer het nulvlak om eene rechte lijn wentelt. 

 Rust evenwel die rechte lijn op ƒ' en ƒ", dan beschrijft 

 het nulpunt eveneens eene rechte lijn, die ook ƒ ' en ƒ " snijdt. 

 De overeenkomst tusschen die beide rechte lijnen droeg een 

 involutorisch karakter. Er werd nu gezocht naar de krommen 

 jR 3 , in de drie nulsystemen toegevoegd aan de lijnen z van 

 het achttal hyperboloïden H^ H 2 , . . . H%, welke lijnen z 

 telkens gemeenschappelijk waren aan een zestal der twaalf 

 complexen K+ a = 0, . . . K±c l = 0. 



Het bleek, dat het laatste viertal hyperboloïden zich geheel 

 anders gedroeg dan het eerste. De krommen iü 3 , behoorende 

 bij de lijnen z van eene hyperboloïde H, hebben tot meet- 

 kundige plaats een regelvlak F 6 van den zesden graad. Zoo 

 zou men uit ieder oppervlak H drie oppervlakken F 6 kunnen 

 afleiden, al naargelang men daarbij het nulstelsel (14; 23), 

 (24; 31) of (34; 12) te hulp nam. Zooals werd aangetoond 

 bezitten de hyperboloïden H^ /7 6 , i/ 7 , H 8 de merkwaardige 

 eigenschap, dat voor elk van hen de drie regelvlakken F 6 



