( 304 ) 



verbeteringen (7"J, (8«J, (9 Ö ), (10 a , alle termen, die k 2 , h k , 4 6 , /£ 8 , 

 tot factoren hebben, verdwijnen: vandaar dat alle ip(k — u) den 

 factor u en alle q' (k — u) den factor (k — tu) verkrijgen, even- 

 als zulks in N°. 4 het geval was. Ook heeft hier overal, mede 

 in overeenkomst met hetgeen men in N°. 4 afleidde, de merk- 

 waardige bijzonderheid plaats, dat er tusschen de grenzen en 

 // van u de <? (h — u) sleehts een enkel maximum heeft. 



6. De tegenstelling, die aan het einde van N°. 3 werd opge- 

 merkt ten opzichte van de uitkomsten ^1) tot (5) van N°. 2, 

 en de volgende (6) tot (10) van N°. 3, ontbreekt hier geheel 

 bij de verbeteringen dier formulen, zoo als ze in N°. 4 en 5 

 werden gevonden. In de tweede formulen, met b geteekend, 

 komen telkens evene machten van h voor, vermenigvuldigd met 

 het verschil van de gelijknamige afgeleiden van ƒ (x -f- h) 

 en/ (as). In de derde formulen, met c geteekend, komen daar- 

 entegen enkele afgeleiden van f (x + ö h) voor van oneven 

 orde, vermenigvuldigd met de gelijknamige oneven machten 

 van h. 



Wij hebben nu het eerste gedeelte van ons doel bereikt, de 

 ontwikkeling namelijk van het verschil ƒ (x -f- h) -- ƒ (./•) op 

 twee zeer onderscheiden wijzen, en de bepaling telkens van de 

 fout, die men begaat, als men de ontwikkeling bij eenigen 

 term afbreekt, of wel van de verbetering, die er alsdan be- 

 hoort aangebracht te worden. 



Maar nu zijn wij dan ook in staat, daaruit andere formulen 

 afteleiden voor de benaderde bepaling van den inhoud eener 

 vlakke kromme lijn. Kortheidshalve zullen wij daarvoor de 

 formulen (5) en <;10) alleen behandelen; de overige toch zou- 

 den overeenkomstige uitkomsten geven, waarbij slechts eenige 

 der laatste termen verwaarloosd zouden moeten worden. 



7. Beginnen we met de vergelijking (5), en stellen we daarin 

 achtereenvolgens voor x 



a, a -f- h, a -f- % k, . . . a -)- (n — 1 ) h ; (e) 



dan wordt bij de laatste onderstelling x -f- h — a-\-u/^ stel 



b — a 

 = b, waaruit dan volgt h = (ƒ). 



71 



Telt men nu alle uitkomsten dier substitutie op, zoo vallen 

 er vele termen weg, en men houdt over 



