205 ) 



ƒ('')■ 



■f{a) = [i* {f^bypia)}-^ { ƒ« («)_ƒ„(„)} + 



+ ^ {f ,T (*W IT («'<} — '«" {ƒ*' (*)-ƒ"(«)} + 



-r 720 u i ; / v ƒ 30240 1/ ui i'/t 



# {fvm( b y fn u {a) } — ....] + 



' 1209600 



+ * {««) + f(a+h) + p{a + U) + ... + ƒ! (a+[n-2]A) + 

 +f(M}} +B (11) 



Naarmate men nu in den eersten vorm tusschen haakjes van 

 het tweede lid, een, twee drie of vier termen neemt, komt men 

 tot de uitkomsten, die men uit de vergelijkingen (1), (2), (8) 

 of (4) zoude verkregen hebben. Daarbij behooren telkens de 

 verbeteringen die in N°. 4 werden afgeleid : deze hebben de 

 beide algemeene vormen 



(—l)*Ah**0 {ƒ**(*+£) — /**(*)} . . . . (11«) 



en 



(-l)MP+lf2A+l(a; + 0A) (13 6). 



Dewijl nu de eerste verbetering (11°), wegens < ö <^ 1, 

 ook dus luidt, 



kleiner dan (—\)k Ah** {f*{x+h)— /**(*)}, 



zoo zal de optelling, na de substitutie der waarden (<?), hier voor 

 de geheele verbetering van (11) geven 



R, kleiner dan (— 1)* Ah** {f k (b)— f 2k (a)} t 

 of ook 



R, = (—l)*Ah**B {fi k (b)—f* k {a)} (lic). 



Voor de tweede verbetering, die nu alleen geldt, als fl*-^{x-\-u) 

 tusschen de grenzen en h van u niet van teeken verandert, 

 moet men de grootheden 



/**+i(«+0A),f«*+i(fl + [0 + l]A), . . /**+i(a+[o+»-l]A) 



optellen. Noem G. 2 &_f-i de grootste dier afgeleiden ƒ **+"*■ (q) 

 voor q tusschen, a en # begrepen, omdat hier a < a + ö /^, en 

 tt + (ö + w — 1) ^<ö + nh^b is, zoo is die som kleiner 

 aan n . G j^+i ; en derhalve de verbetering 



