( 12 <3 ) 



waaruit wij, door g af te zonderen, verkrijgen 



JZFPP l +F l (PN X +P , IQ-JMi M, +3PN ï '+P l N) 

 ff ~2F l NJV l +F { PN t +P 1 N) 2F, NN.+F.P^+P^ 



daar weder, volgens de eigenschappen der naderende breu- 

 ken, P=pN+M en P, -.-pi^, + if, is, kunnen wij 

 hier voor den teller der eerste breuk schrijven 



FP x {pN+M) + FP(pN l + M x ) + (F x N x (pN+M)+F l N[pN l +MJ 

 dat is 



ipF l im,+pFlPN l + P l ^+F l (NM l +N l M)+F(PM l +P l M) } 

 de voorgaande waarde van g gaat dan over in 



9 = p + 0-9' (4) 



de letters en ö' kortheidshalve dienende tot voorstelling 

 der breuken 



F l {NM l +N l M)+F{PM l +P 1 M) , ZJS l NN'i+JS(PN' l +P i N) u 

 %F X NN A + F(PJV! + P X N) 6nÖ : ~2F 1 iV7V" 1 - r -F(?iV r 1 +P 1 ^) 



Deze breuken en q', die natuurlijk positief zijn, zijn 

 behoudens eene mogelijke uitzondering ook kleiner dan de 

 eenheid. Daar namelijk N >• M en N x ^> M t is, hebben 

 wij niet alleen PJV", + P,iV > Püf , + P^ maar ook 

 aiVJV, > NM 1 + N X M, waaruit volgt, dat in de noe- 

 mer grooter dan de teller is. Desgelijks is in 0' de noe- 

 mer grooter dan de teller, omdat F^> E en F 1 ^F l is. 

 Blijkens de vergelijking (4), waarin g en p geheele getal- 

 len zijn, kunnen nu en 0' niet beide kleiner dan de een- 

 heid zijn, zonder dat = 0' is, w ? aaruit dan zou volgen 

 g~p. Maar aan het slot van § 2 hebben wij reeds op- 

 gemerkt, dat g en p niet aan elkander gelijk kunnen zijn ; 

 derhalve moet hier het geval van uitzondering bestaan, dat 

 en 0' niet kleiner dan de eenheid zijn. 



