( 56 ) 

 j\ dxl dy\ f(Q,*,y,z)dz=l dxl dy V ^ ' dz + 



r q p r q p 



dP f* fV, dp ca /•« 



— ƒ dxl f{Q,x,y,P)dy — — / dxl f(Q,*,y,p) dy + 



r q r q 



dQfR [P r ■ dof* f p 



— -I dxl f{Q,x,Q,z)dz — — dxl f (q, x, q,z) dz -f 



r p r p 



I dyl f{Q,R,y 9 z)dz—~l dij I f{g 9 r,y,z)dz . (4) 



dq 



q p q p 



Zoodra men nu deze uitkomsten (1), (3) en (4) aandachtig 

 te zamen vergelijkt, en de methode van afleiding nagaat, komt 

 men gemakkelijk tot den algemeenen regel. 



Wanneer men eene n dubbele bepaalde integraal, — waarbij de 

 grenzen afhangen van eene standvastige grootheid, die ook in 

 de geintegreerde functie voorkomt, — ten opzichte van die stand- 

 vastige wil diflerentieeren, ga men dus te werk. Vooreerst dif- 

 ferentieere men, voor dat er eenige integratie wordt uitgevoerd, 

 de functie zelve ten opzichte dier standvastige. Vervolgens vorme 

 men n paren van n — 1 dubbele bepaalde integralen door een- 

 voudig ééne der integratien weg te laten, maar dan ook in de 

 geintegreerde functie de weggevallen veranderlijke telkens door 

 iedere van hare grenzen te vervangen : voor iedere dier beide 

 integralen stelle men het diiferentiaalquotient der overeenkom- 

 stige grens ten opzichte der genoemde standvastige als coëffi- 

 ciënt : en trekke men de uitkomst voor de onderste grens af 

 van die voor de bovenste grens. De som van al die n verschil- 

 len, bij de eerste n dubbele integraal gevoegd, geeft het ver- 

 langde. 



Bij dezen algemeenen regel voor eene n dubbele integraal, 

 zoowel als bij de formule (3/ en (4), worde het volgende opge- 

 merkt. 



1°. Als de geintegreerde functie de standvastige, ten opzichte 

 waarvan gedifferentieerd wordt, niet bevat, dan vervalt de eerste 

 term, de n dubbele integraal, omdat zij identisch nul wordt. 



