( 38 ) 



reeks / ( j" 1} , en wel in deze verhandeling voor 



kTo (ji + kn)! 



7i = 4 ; zoodat er voor ^=1, 2, 3, 4 vier onderscheidene 

 sinussen der vierde orde ontstaan. 



Het stuk is in twee afdeelingen gesplitst : de eerste bevat 

 de theorie dezer functiën ; de tweede hare toepassingen bij de 

 ontwikkeling van functiën in reeksen. 



2. In het eerste gedeelte nu worden reeds dadelijk de 

 reeksen met het -j- teeken, de hyperbolische sinussen der 

 vierde orde, en die met het — teeken (dus afwisselende tee- 

 kens), de elliptische, telkens tegelijk behandeld ; hetgeen zeer 

 gemakkelijk is, omdat de laatsten ontstaan door in de eerste 

 voor de veranderlijke z te stellen zr h waarbij 7 = &* — 1 = 

 = r{\ + O = (1 + O l/ i- Deze methode heeft vóór bij die 

 van Knar, die alleen de laatste functis behandelt; geeft een 

 goed overzicht, en veroorlooft ons betrekkingen af te leiden 

 tusschen die beide soorten van functiën onderling. 



Vooreerst vindt men, dat zij voldoen aan de differentiaal- 

 #y 

 il, 



gedrukt worden door exponentieelen, zonder of ook met 

 o'onio metrische functiën. En hierbij worden in (17) en (18) be- 

 trekkingen tusschen beide soorten van functiën afgeleid. 



In § 3 stellm schrijvers het optellingstheorema (19) en (20) 

 op: de afleiding uit (15) en (16) ware hier op hare plaats 

 geweest, wegens het groote belang van deze stelling. Daarna 

 verschillende gevolgen daarvan, o. a. de produkten van twee 

 factoren, de betrekkingen voor het dubbele argument. En 

 deze geven weder de betrekkingen (28) en (29), die overeen- 

 stemmen met de goniometrische formule sm 2 x -f- cos 2, x = 1 ; 

 ten slotte eene betrekking in den vorm van een determinant. 

 S 5 geeft de formulen, die overeenkomen met het theorema 

 van de Moivre; § 6 de sommen Van eindige reeksen, waarbij 

 de argumenten opklimmende veelvouden vormen van het oor- 

 spronkelijk argument. 



Nu volgt in § 7 eene discussie over de wortels of nul- 

 punten dezer functiën, en hare onderlinge betrekking. Het 



vergelijking =±= y = ; vervolgens, dat zij kunnen uit- 



