( 41 ) 



staat, elke holomorplie functie te ontwikkelen door middel 

 der identieke vergelijking (123), 



ip (z) = J [ip (z) + ip (— z) -f xp (iz) + ip (- is)] 

 + j I> (*) — V (~ *) — V' (*'*) + V (— i *)] 



+ 1 [> (*) + v> (— *) — V (**) — V (— »«)] 

 + 1 l> (*) ™ V (— z ) + l P ( iz ) — H' (— **)]i 



en verkrijgen alzoo de vier theorenias (125); voor ?/2, in 

 plaats van z ontstaat daaruit nu liet stelsel (127), waarde 

 sinussen 21, enz. door de sinussen A, enz. zijn vervangen. 



2 3 



Ten slotte worden 1, z, -— r , * in (129) tot (132) 



1.2 1.2.3 



ontwikkeld, en evenzeer de sinussen A, B, C, D van #i 



in (133) tot (136). 



4. Niettegenstaande het fraaie van al deze uitkomsten, 

 staan zij, naar hetgeen boven is gezegd, op losse schroeven. 

 Daarom willen schrijvers in § 6 overgaan tot een regelmatig, 

 streng wiskundig bewijs, met bepaling der grenzen, waar- 

 tusschen die uitkomsten alleen geldig zijn. Dit doel willen zij 

 bereiken door de reeksen, die het tweede lid in de formulen 

 (125) vormen, te sommeeren, en het grensgebied te onder- 

 zoeken; zij betoogen eerst, dat bijaldien het theorema (125) 

 werkelijk juist is, ook de formule (127) geldt niet alleen, 

 maar ook dat daaruit de juistheid der vroegere formulen 

 (115) tot (122) af te leiden is. 



Schrijvers bezigen nu daaitoe de laatste dier vergelijkingen 

 (125), die eerst herleid wordt tot de som van twee gelijk- 

 soortige oneindige reeksen (142) ; deze worden weder in 

 dubbele sommatiën omgezet. Voor de eerste sommatie wor- 

 den nu de vroeger op niet wetenschappelijke wijze gevonden 

 formulen (136) gebruikt, en daarmede het bewijs voltooid. 



Men moet derhalve thans het stelsel (133) tot (136) 

 streng afleiden, en wel uit elk stel slechts ééne vergelijking, 

 omdat de drie andere telkens door differentiatie kunnen wor- 

 den gevonden, zooals in eene noot bewezen wordt. Schrijvers 

 komen tot vier differentiaalvergelijkingen (151), en schrijven 



