( 42 ) 



daarin voor de termen, die de afhankelijk veranderlijke niet 

 bevatten, de later te bewijzen waaiden /', Q, R en S; deze 

 differentiaalvergelijkingen hebben den vorm, die in § 18 van 

 het eerste gedeelte zijn geïntegreerd, en leveren in hare in- 

 tegralen de gewenschte formulen (148) terug. 



Men heeft nu die vier aangenomen waarden (155) te 

 bewijzen. Daartoe gebruiken schrijvers twee FouitiEit'sche 

 ontwikkelingen (156) en (158) van eene functie voor go- 

 niometrische sinussen en cosinussen van veelvouden van het 

 argument, waarvan de eerste, als een nieuwe vorm, afzon- 

 derlijk bewezen wordt. Alzoo verkrijgen zij ontwikkelingen 

 voor de breuken. 



e mx -fc- € -ul .< gm x ± e - m r 



CU 



en deze leveren voor de beide eerste (155), nam. / ; en Q, 

 dubbelsommen, die na verandering van de orde der sonnna- 

 fciën gemakkelijk tot de verwachte waarden voeren. En 

 daarmede zijn dan de tweede en derde vergelijking (125), en 

 dus ook (115) en (117) bewezen. Daarna wordt het grens- 

 gebied bepaald. 



De bepaling der beide overige grootheden R en S, van 

 (144) gaat nu gemakkelijker; en daaruit volgt wederom de 

 geldigheid van de tweede en vierde der vergelijkingen (125), 

 en dus ook van (1 1G) en (118). 



Hiermede is nu in § 6 tot § 12 het gezochte wetenschap- 

 pelijke bewijs der vorige uitkomsten gevonden ; al kan men 

 dan ook dit bewijs nog niet fraai noemen. 



5. Ten slotte nog eenige gevolgen: in § 13 vindt men 

 eene wederkeerige betrekking tusschen de grootheden S * ; 

 in § 14 eene andere door middel van een theorema (175). 

 Daarop volgen acht stellen van vier dergelijke theoremas 

 elk, die eene verschillende uitkomst geven, naarmate twee 

 veelvouden m en n gelijk zijn of niet. Ten slotte nog eenige 

 gevolgen, afgeleid door differentiëeren en daarop onderliug 

 verbinden. 



De verhandeling wordt besloten met vier tafels. 



