( 276 ) 



A la rigueur on pourrait avoir 3 A = 5 B, maïs alors 

 f (x) serait nécessairement constant et 5 B — d. Nous ferons 

 abstraction de ce cas, parce que pour la fcerre les inégalités 

 (7) ont lieu effectivement. 



3. Limite inférieure m de la densité au centre. 



Tachons de déterminer une loi de densité de la maniere 

 suivante : 



f (#) z= m de x = jusqu'a ./• --= a <^ 1 

 f(a) r= d de x = a jusqu'a x = 1. 



Les inconnues m et a doivent être trouvées par les conditions 

 (1) et (2); — on obtient après mie légere réduction: 



3 A — d z= (m — d) a 8 



5 B — (I = (m >— d) a b , 



d'oü 



(8) . 



(9; ■ 



.-VI 



5 B - d 

 3 A — d 



=d+V 



( 3 A —df 

 (5 B — df 



Comme on Ie voit par les inégalités (7), la valeur de a est in- 



. lf • , 3 A — d 



leneure a 1 unite; quant a m = (/ -\- - , a cause de 



a 3 



a <^ 1 il vient m > 3 A, c'est-a-dire m est supérieur a la 



densité moyenne de la terre, — ce qui est évident a priori. 



En prenant (fig. 1) un système d'axes rectangulaires O X, 



O Y, O A = 1 , O D — m, AB — d, O F—a, cette loi de 



densité est représentée par les deux droites D E, C B. Or 



il est évident maintenant que m est la densité minima au 



centre, c'est-a-dire qu'il n'y a aucune loi de densité qui donne 



pour x = une densité inférieure a m. En effet, désignons 



par ƒ (x ) la loi de densité représentée par D E, CB, et par 



,ƒ ! (x) une autre loi de densité, qui donnerait au centre une 



densité inférieure km; on voit aussitöt que f(x) — ƒ l (.r) 



ne pourrait présenter qu'un seul changement de signe, ce 



qui est impossible d'après la proposition du N°. 1. 



