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4. Dans la suite, la liinite inférieure de la densité pour 

 x = b sera désignée par t (b) et la limite supérieure de cette 

 même densité par T (6). Le résultat que nous venons d'ob- 

 tenir s'exprime donc ainsi : t (0) = m, tandis qu'on a évi- 

 demment t (l) = d, T (1) = d. 



Nous nous proposons de déterminer ces fonctions t (/;), 

 T (6) pour une valeur quelconque de b. 



D'abord il est évident , en jetant un regard sur la fig. 1 , que 



t(b) — d a<b<l, 



et a 1'aide d'un raisonneraent, tout-a-fait analogue a celui 

 qui nous a fait voir que t (o) = -m, on se convaint que 



T(a) = m. 



La fonction t (b) étant connue maintenant pour les va- 

 leurs de b coraprises entre a et 1'unité, il reste seulement 

 a trouver la valeur de t (b) pour les valeurs positives de b 

 inférieures a a. (Nous savons déja que t (o) = m). 



Pour cela, je cherche une fonction F (#), ainsi : 



F(x)=zK o<^<6 

 F(x)=.k &.<-*.< Is 



K et k étant des constantes qui doivent être déterminées par 

 les conditions (3). Un calcul facile donne : 



3 (1 — 5 5 )^1 — 5 (1 — ^).B 

 "~ 6» (1 62) ' 



5 B — 3 b* A 

 1 — 6 2 



k 



La valeur de k, considérée comme fonction de Z>, est dé- 

 croissante, et comme on voit facilement que pour b = a il 

 vient k = d, la valeur de k sera supérieure a d dans 1'hy- 

 pothèse actuelle o <^ b <^ a. D'après la proposition du N° 1 

 on en conclut K^m Dans la fig. 1 la fonction F (x) 

 est représentée par les droites IK, HG et OL=zb. 



On voit maintenant, d'après un raisonnement déja déve- 

 loppé plus d'une fois, qu'il ne peut exister une loi de den- 



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