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Naturellement, on a comme auparavant, 3 i > 5 5 > c?, 

 mais il existe encore une autre relation, propre a notre 

 hypothese. Pour la trouver, considérons la fonction F(x), 

 qui s'est présentée déja dans Ie N°. 2 : 



F(x) = 80 A — 45 B — 12 (3 A — 5 B) x 



et qui vérifie les relations : 



o o 



Cette fonction F (x) décroït de M — F (o) = 30 A — 45 B 

 jusqu'a D = jF(1) = 15 # - 6 ,4. 



Je dis maintenant que la valeur d = f(l) doit êtr e infé- 

 rieure a Z* =: 15 J5 — 6^4. C'est ce qu'on voit facilement 

 en jetant Ie regard sur la fig. 2, oü la fonction F(x) est 

 représentée par la droite FE, et en se rappelant que la 

 différence F (x) — f (x) doit changer au moins deux fois de 

 signe d'après la proposition du N°. 1 . Cela se fonde sur la 

 notion qu'on a d'une courbe qui tourne sa concavité vers 

 O A, car c'est par une telle courbe qu'est représentée la 

 fonction f(x) d'après notre hypothese. Mais voici une démon- 

 stration arithmétique. Supposons d^ D, alors F(x) — f(x) 

 est négative pour x =r 1, et comme cette différence doit 

 changer au moins deux fois de signe, il doit exister un 

 nombre a <^ 1 tel que F (a) — f(a) > 0, et un nombre 

 b < a tel que F (b) — f (b) < 0, donc: 



F(l)<f(l) % 



F(a)>f(a), 



*■ (*)<ƒ(*). 



d'oü 1'on tire: 



F(a)-F(l) > /»-/(!) F (b) - F(a) f(b)-f(ai 

 1 — a 1 — a a — b b — a 



mais evidemment = — — donc : 



1 — a a — b 



