SUR QUELQUES INTÉGRALES DÉFINIES 



PAB 



T. J. STIELTJES. 



Legendre dans les Exercices de calcul intégral (t. II, 

 pag. 189) a donné la valeur de 1 'integrale 



ƒ 



» sinmx \ e m -f- 1 1 



formule sur laquelle Abel est revenu plus d'une fois (Oeuvres, 

 tome I, pag. 24, 35. Edition de Sylow et Lie). 



LTétude du mémoire de Riemann : » Ueber die Anzahl der 

 Primzahlen unter einer gegebenen Grenze 1 ' m'a conduit a 

 cette reniarque qu'on doit regarder la formule de Legendre 

 comme Ie cas Ie plus simple de toute une série de formules 

 qui présentent un caractère éminemmeni arithmétique. 



Dans ce qui suit je me bornerai a donner deux exemples 

 qui feront connaïtre suffisam inent Ie caractère des formules 

 nouvelles, sans en vouloir présenter dès a présent, Ie sys- 

 tème complet. 



Soit p un nombre entier positif impair (p ^> 1) sans di- 

 viseur carré et posons 



ƒ( 



P 1/ M \ 



*) = * - 



i \P I 



Ie symbole - I étant pris dans Ie même sens que dans 



\P I 

 ma communication de Septembre 1885 (pag. 101 de ce 

 volume). 



