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2tt 

 rieur a — , on verra facilement que ces formules sont 



V 

 valables pour une valeur imaginaire quelconque det~a4-5 i, 

 a condition seulement que la valeur absolue de b reste infé- 



2tt 



rieure a . 



V 



La série par laquelle nous avons défini la fonction cp s) 

 n'est convergente qae tant que la partie réelle de s est 

 positive Toutefois on peut démontrer que cette fonction 

 est holomorphe dans tout Ie plan ; on y arrive, en partant 

 de la formule (1) et en suivant une methode donnée par 

 M. Hermtte. (Comptes rendus de V Acad. des S-iences, tome 

 101, pag. 112). 



Il existe une relation remarquable qui lie q>(s) a <p(l — s) 

 et qui a été découverte par M. Hurwitz (Zeit schrift für 

 Mathematik und Physik, tome 27, 1882). Sans avoir eu 

 connaissance du travail de M. Hurwitz, j'avais retrouvéson 

 résultat en partant des formules (A) et (B). Comme cette 

 démonstration est entièrement différente de celle de M. Hur- 

 witz, je crois utile de la donner ici. Je me bornerai d ail- 

 leurs au cas p = 1 mod. 4. 



En multipliant (A) par t s ~ l dt, intégrant de a oo il 

 vient, si 1'on renverse 1'ordre des intégrations dans 1'inté- 

 grale doublé et qu'on se rappelle la relation connue: 



f 00 I ptx\ , I pon \— s n s 







7TS / p \-* ƒ« ƒ e—) n [* f{e~') ^ 



p \2ti I J \—e~i' x \/p J l—e-P' 



o o 



Or d'après (1) 



Uit. 



e-*) 



("JA 



J 1 — e~P x 

 



x~*dx = T (1 — s) cp (1 — s), 



