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f (e~') 



J 1~«- J 



O 



en sorte qu'on trouve, après quelques réductions: 



TIS 



2 cos — 



2 TT / l/p 



On peut dire aussi que Texpression 



E ^r / * 



(f) 



, r - U (*) 



TT / \ 2 / 



ne change pas en remplacant s par 1 — s. 



Il faut supposer dans cette démonstration que s ,'ou la 

 partie réelle de s) reste comprise entre et 1. Mais d'après 

 Ie caraetère analytique de la fonction cp(s\ la relation ob- 

 tenue entre cp (s) et cp (1 — s) doit avoir lieu dans tout Ie 

 plan, dès qu'elle se trouve vérifiée dans une partie du plan. 



Je remarque enfin que les formules que j'ai données dans 

 ma communication déja citée de Septembre 1885, permet- 

 tent d'établir d'une maniere beaucoup plus simple encore 

 cette relation entre q> (s) et cp (1 — s). 



Riemann, dans Ie mémoire cité, a donné une relation 

 entre la fonction qu'il désigne par £ (s) et £(1 — s), et il a 

 démontré cette propriété de deux manières différentes, la 

 seconde démonstration se fondant sur une formule qui appar- 

 tient a la theorie des fonctions elliptiques. La démonstration 

 de la relation qui lie cp (s) a cp (1 — s) que nous venons 

 d'indiquer en dernier lieu, est parfaitement analogue a cette 

 seconde démonstration de Riemann. 



Il n'est pas sans intérêt d'examiner un peu plus particu- 

 lièrement les développements en série (C) et (D). 



Il est évident d'abord que les coefïicients des diverses 

 puissances de x dans Ie développement de 



