( 292 ) 



functie in een reeks van Fourrier, met a als argument, 

 ontwikkelen. Zij is deze : 



V n ^lr\ n rsinnct sin (n -f- l)cr 



JWJJ 



.(18) 



K y ryr smna sm I M-t-ij cn 



voor ?*<a r r= — ^ - + - — \Qn(0) 



n n-=0\a L n n + 1 -J 



voorr>a V =z— 2. \~ , f- — — Q„(i/) 



TT n-()\r j L n w -f- 1 J 



y en # zijn poolcoördinaten met het middelpunt des bols 

 als oorsprong, en zoo gekozen, dat voor het midden dei- 

 kom 1^ = 0. Voor haar rand is O = a. Q„ is de ra de term 

 der ontwikkeling van: (1 -f- ;r 2 — 2 w cos &)—* naar opklim- 

 mende machten van ar, dus een »zonal harmonie". 



Liever, dan (2) in deze reeks te ontwikkelen, zal ik laten 

 zien, dat de door de beide vergelijkingen (18; voorgestelde 

 functie aan de volgende voorwaarde voldoet: 



10. a 2 V' = o , A 2 V = o ; 



2°. voor r = a , # <« , F' == F = F ; 



30. V oor r = a, #>«, V' = F; 



4°. voor r* = a , # ^> « , 1 = ( 1. 



\ O r / \ d r j 



Daar iedere term der reeksen een bolfunctie is, is : 



A 2 V =z o , A 2 V' == o . 



Om te doen zien, dat ook aan de overige voorwaarden vol- 

 daan is, gaan wij uit van de functie: (1 -f- z 1 — 2zcos. &)~$, 

 waarin z een complexe veranderlijke voorstelt. Deze functie 

 heeft twee ondoorloopendheidspunten, n. 1. z = e£*3 } welker 

 moduli gelijk aan de eenheid zijn. 



Dus: 



(1 -(- M 2 e 2i * — 2 Me ict cos d)~i — Z M n e nia Q n 



voor M < 1 . 



