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>\ che si producono allo stato di equilibrio ordinatamente in corrispondenza al- 

 l'azione delle forze P. P e P" ; 

 £{2>q) la somma dei prodotti delle forze p per le corrispondenti deformazioni, cioè il 

 momento virtuale delle forze elastiche, valutato considerando le deformazioni ela- 

 stiche reali, e quindi uguale al doppio del lavoro elastico di deformazione. 



I sistemi di spostamento (A, rj) , (À' , ^'), (À," , //') sono necessariamente compati- 

 bili coi vincoli imposti al corpo C, perchè corrispondano a stati reali di equilibrio, 

 quindi pel principio delle velocità virtuali dovranno essere soddisfatte le relazioni 



2iU = 2(^), 2P'À"=2(p7?"), 2P"A'=2{p"i?') (1) 



II teorema di Betti sulla reciprocità esistente fra le forze e le deformazioni ela- 

 stische corrispondenti a due stati diversi di equilibrio di uno stesso corpo sotto 1' azione 

 di due sistemi di forze P e P" , applicate agli stessi punti e nelle medesime direzioni, 

 fornisce 1' equazione 



2(pY') = 2(i>'Y) (2) 



Combinando le (1) colle (2) si ottiene la serie di eguaglianze 



1P'À"= 2(pY') = 2(p'Y) = 1P"À' (3) 



che nel corso di meccanica applicata alle costruzioni abbiamo chiamato equazioni o 

 teorema di correlazione e dimostrato fecondo di conseguenze nello studio dell" equilibrio 

 dei corpi elastici. Infatti, supponendo valori speciali alle forze componenti il sistema 

 P' o P", dalle equazioni di correlazione si deducono con estrema facilità : 



a) Il teorema dei coefficienti unitari di deformazione, e nel caso dei sistemi 

 piani la corrispondente costruzione delle linee di influenza. 



b) Il teorema di Maxwell sulla reciprocità degli spostamenti in due punti A r 

 ed A s di un corpo elastico quando siano sollecitati successivamente da forze unitarie 

 agenti nella direzione degli spostamenti stessi. 



e) I teoremi relativi alle derivate del lavoro elastico di deformazione espresso 

 in funzione degli spostamenti dei punti di un corpo in equilibrio oppure delle forze 

 esterne applicate ai medesimi, conosciuti col nome di teoremi di Castigliano. 



d) Il principio o teorema del minimo lavoro pei corpi elastici in equilibrio sotto 

 F azione di forze esterne attive e di reazioni dovute a vincoli fissi, indipendenti dal 

 tempo e tali che non producono lavoro esterno, detto anche teorema di Menabrea, 

 perchè questi F ha enunciato pel primo. 



Se si immagina di prendere in esame un sistema elastico C piano e si considerano 

 oltre le forze P anche momenti (coppie) agenti su elementi materiali passanti pei 

 punti A , dallo stesso teorema di correlazione si deduce una legge di reciprocità fra 

 le forze esterne, spostate corrispondentemente alle coppie che agiscono nei loro punti 

 d' applicazione, e solidali all' elemento materiale passante pel punto stesso mediante 

 un braccio rigido, ed i poli di istantanea rotazione, che è appunto quella menzionata 

 superiormente. 



