ESISTENZA DEGLI INTEGRALI 

 NELLE EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI 



MEMORIA 



:e d :r,o:e"'. cesare arzela 



(letta nella Sessione del 29 Aprile 1906) 



Per un' equazione differenziale 



dy 



dx 



— fi* , y): 



dove si considerino x e y variabili reali in un certo campo, è dimostrato, che presup- 

 posta la continuità della f(cc, y), o anche solo la integrabilità rispetto a x insieme con 

 la continuità rispetto ad y, preso ivi a piacere un punto (#? ?/ ), sempre esiste almeno una 

 funzione continua y = y(%>), che per x = co Q assume il valore y = y e soddisfa, per 

 un certo intervallo di valori ce, all' equazione differenziale. Se si aggiunge la condizione 

 di Cauchy, o anche solo quella di Lipschitz, quella funzione è unica. 



Se poi f(x, y) è funzione analitica regolare delle x e y variabili complesse den- 

 tro un determinato dominio, allora un procedimento ben noto, fondato sul cosidetto Cal- 

 colo dei limiti di Cauchy, assicura 1" esistenza di una funzione analitica y(x) della ce 

 in un certo campo, e che in x = ce diviene y{ce) = y e soddisfa all' equazione dif- 

 ferenziale. 



Queste proposizioni valgono, come si sa, anche pei sistemi di più equazioni. 



Per una equazione a derivate parziali 



■p — f{x, y,i,q) 



9* *ÌZ 



dove è p = — q = — V esistenza dell 1 integrale è stabilita nell' ipotesi che il se- 

 ox oy 



condo membro sia funzione analitica degli argomenti ce-, y, z, q con la nota dimostra- 

 zione pure fondata sul Calcolo dei limiti) ma come osserva E. von Weber: (*) vom 

 standpunkt der Analysìs reeller Grossen sind bisher nur wenige spezielle Kategorieen 



(*) Encyklopàdie der Mathematischen Wissenschaften etc. 11 Band Heft 2. 3. (1900). 



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