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von Bifferentialproblemen untersucht : eine Uébertragung der Cauchy-Lipschitz 3 schen 

 Existenztheoreme auf béliébige partielle Lifferentialsysteme ist nodi nicht durchgefuhrt. 



In una nota « Sull' esistenza degli integrali ecc. ecc. » (Memorie dell'Accademia 

 delle Scienze di Bologna 1896), io ho dato la condizione necessaria e sufficiente, 

 affinchè una successione dL funzioni di una variabile in un intervallo, delle quali è 

 solo presupposto che siano tutte contenute fra limiti finiti, ammetta almeno una funzione 

 limite continua; nella memoria poi « Sulle serie di funzioni del 1899 (vedi anche 

 Sulle serie di funzioni di variabili reali, 1902) » e data una proposizione più generale 

 relativa a una varietà di funzioni contenuta fra limiti finiti. 



Una tale proposizione, nel calcolo delle funzioni dipendenti da linee, corrisponde 

 in certo qual modo, alla proposizione di Cauchy relativa alla condizione di conver- 

 genza per una successione di numeri. 



Di quella proposizione, nella detta nota « Sull' esistenza degV integrali ecc. ecc. » e 

 nell'altra « Sull'integrabilità delle equazioni differenziali ordinarie (1895) », ho fatto 

 applicazione a stabilire in modo generale resistenza dell' integrale per V equazione dif- 

 ferenziale ordinaria ; e già annunciavo che, seguendo una via analoga, mi ripromettevo 

 di giungere a stabilire V analogo resultato per le equazioni a derivate parziali. 



Ma così allora, come anche più tardi, (vedi Rendiconti del 1903 dell'Accademia 

 di Bologna.) dovetti pure rimandare la pubblicazione della memoria relativa. L'analogia 

 non era così immediata da rendere facile la cosa. 



Ora giudico di avere ottenuto in modo semplice la dimostrazione di che si tratta 

 e nella presente memoria precisamente stabilisco che : presupposta nella funzione 

 f(x , y . z , q) la sola contentata rispetto alle quattro variabili in un certo campo, data 

 ad arbitrio una. funzione ^> (y) della y continua essa e la derivata 'pu(y) ^ n un 



7 0u(y-i- k ) — 0ó(y) 



certo intervallo e con rapporto incrementale L sempre compi'eso tra 



k 



L e L , L finito, la equazione 



te / te \ 



rispettive derivate — e — in un certo campo, e per x = x Q ognuna delle z(x , y) si 



ammette sempre una o infinite soluzioni z^z(x, y) finite e continue insieme con le 



ì^z te 

 — e — 

 t \x 3y 



riduce a z(x y) = (pjj) . 



Il resultato è ottenuto mediante la particolare costruzione di una successione di 

 funzioni discontinue, alla quale è applicabile il citato teorema generale relativo all' esi- 

 stenza di una funzione limite continua. 



Darò prossimamente condizioni semplici per la unicità della soluzione. 



