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I. 



1. Premetto, per comodità del lettore, la estensione a due variabili del teorema che 

 dà la condizione affinchè una varietà di funzioni ammetta almeno una funzione limite 

 continua. Questa estensione veramente è ovvia, e chi ha letto la dimostrazione pel 

 caso di una variabile (*) può anche omettere quella che qui segue : dò poi alcune fa- 

 cili, ma necessarie, osservazioni. 



Sia v(oc, y) una funzione delle due variabili x e y, data comunque in un 

 campo C, avente però ivi limiti superiore e inferiore finiti. 



Due altre funzioni <p(x , y) e \p(oc , y) tali che per ogni punto (so , y) in C si abbia 



0{.v, y) <v{x, y) < tp(x, y) 



determinano un intorno della v(os ì y). 

 Abbiasi una varietà G di funzioni 



u{x , y) , w{x , y) , . . . 



definite comunque mediante una certa legge in C, soggette alla sola condizione di 

 essere tutte contenute fra due numeri finiti 1 e L . 



Se, prese, in qualsiasi modo, le due (p(oc , y) e tp(x , y) che soddisfino alla relazione 

 precedente esistono poi sempre infinite funzioni u(x , y) della G tali che sia 



<p(oc, y) <u{x, y) < ip(x , y) , 



si dirà che la v(x, y) è una funzione limite della varietà medesima, e può anche 

 non appartenere alla varietà. 



QuaV è la condizione, affinchè una data varietà G ammetta una, o più, o anche 

 infinite funzioni limiti egualmente continue ? 



Egualmente continue diconsi infinite funzioni continue 



u(x, y), w{x, y),... 



in un campo C se, preso un numero positivo a piccolo a piacere, esiste poi sempre 

 un numero d assegnabile tale che in ogni cerchio, o parte del campo C, di cui la 

 massima corda non superi d, l'oscillazione di una qualunque delle u,'w 7 ... resulti 

 minore o eguale a 0". 



Egualmente oscillanti per meno di <7 chiameremo infinite funzioni, continue o no, 



u(x , y) , w(x , y),... 



(") Il Prof. Vitali nella memoria: Sopra le serie di funzioni analitiche, pubblicata negli Annali 

 di matematica per l'anno 1003, ha introdotto in questa dimostrazione qualche semplificazione. 



