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quando, esiste un numero d tale che in ogni cerchio, o parte del campo di cui la 

 massima corda non superi d , esse tutte fanno un' oscillazione minore di a. 



Fissato a, si consideri una delle funzioni p. es. u(x , y) : in un cerchio, col centro 

 in (x , //) essa oscilli per meno di o : dei cerchi siffatti, se ve ne è uno che non si 

 riduca a un punto, ve ne sono infiniti : pei raggi vi sarà un limite superiore che sarà 

 funzione di (x, y). Se il punto (x, y) è prossimo al contorno si considererà solo la 

 parte di cerchio che cade nel campo. In tutto il campo questa funzione avrà un limite 

 inferiore ò\ t . 



Per w(x , y) esisterà un'analogo d w e così via. Se i d u , d,.,... hanno un limite 

 inferiore d maggiore di zero, le funzioni saranno egualmente oscillanti per meno di a 

 in ogni cerchio di raggio o. 



Si comprende che se in posto di a si prende un g x minore, le funzioni egual- 

 mente oscillanti per meno di a potranno non esser più tutte pure ugualmente oscillanti 

 per meno di g x cioè potrà non esistere più un numero ò\ corrispondente, maggiore 

 di zero. 



Ciò posto, la risposta alla domanda fatta precedentemente è data dalla seguente 

 proposizione. 



È necessario e sufficiente che si possa assegnare una successione di numeri 



o-p o t ,.... 



positivi, decrescenti e tendenti a zero e insieme anche un' altra successione di numeri 

 pure positivi 



d x , <ì 21 ... 



tali che nella varietà G si trovino infinite sotto-varietà, che indicheremo con 



G(<j x ), G(a 2 ),... 



ognuna di infinite funzioni e contenuta in quella che la precede, ugualmente oscillanti 

 rispettivamente per meno di 



in ogni cerchio, di raggio 



rispettivamente. 



Suppongasi dunque che, data la varietà 



G-= \ u(x ,' y) \ , 



vi siano per essa una, o anche infinite, funzioni limiti egualmente continue. 

 Si prendano a piacere i numeri dianzi detti 



o-,, (J 2 ,... 



