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Si fìssi una delle funzioni limiti, v(x, y) e si considerino gli intorni determinati 

 dalle funzioni 



»(«, i/) — 3 • • • v\°° > ■ y) ■+■ 3 



Dentro il primo di questi intorni sono per ipotesi, contenute infinite funzioni, le 



(T 



quali in ogni cerchio di raggio <7, nel quale la v(x , y) oscilla per meno di — ■- , oscil- 



O 



3(7 



lano per meno di — - e costituiscono così una sotto-varietà di infinite funzioni G(a l ). 



ó 



Similmente nel secondo intorno esiste una sotto-varietà G(a s ) di funzioni contenute 

 fra quelle di prima e che in ogni cerchio, di raggio d\, nel quale la v(x , y) oscilla 



per meno di — -, oscillano esse pure ognuna per meno di — -. 



Così la condizione enunciata si riconosce necessaria solo che esista una funzione 

 limite continua. 



Mostriamo che è anche sufficiente. Vi siano dunque i numeri 



(7j, fl- g ,... 

 e i corrispondenti 



d\, d\,... 



e nella G le sotto-varietà di infinite funzioni, come è stato detto, 



(j (j 

 le quali in cerchi di raggi ò\ , o g , . . . sono, ugualmente oscillanti per meno di -~ , — -, . . . 



4 4 



rispettivamente, e sono, via via, contenute ognuna in quella che la precede. 

 Si consideri il valore assoluto 



I «0» , y) — w(p , y) | 



della differenza tra due qualunque delle funzioni appartenenti alla varietà GÌ — ). In 



qualche punto (oc, y) esso potrà essere minore di 2<7 , in altri eguale o maggiore. 

 Scegliamo tra le funzioni delle varietà quelle 



y) «fa y) , w(a> , y) , K x > y) , z ( x > 2/)> • • • 



Serie VI. — Tomo UT. 16* 



