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 tali che la differenza in valore assoluto 



| u(x , y) — iv(x , y) 

 | u{co , y) — t(x , y) | 

 | m>0» , y) — t(x , y) I 



tra due qualunque di esse è, in qualche punto (x , y) , maggiore o eguale a 2a 1 . 

 Mostriamo che il gruppo y) contiene solo un numero finito di funzioni. 



Poiché per ipotesi in ogni cerchio di raggio d x fanno, ognuna, un' oscillazione 



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minore o eguale a — 1 , così una qualsiasi di esse potrà fare un' oscillazione maggiore 



di — solamente in un cerchio il cui raggio superi ò\ : quindi se (x , y) è un punto 



in cui è 



\u(x, y) — w(x, y)\ > 2(7,, 



vi sarà un cerchio di centro (x , y) e di raggio almeno eguale a d l , in ogni punto 



del quale le due 



u(x , y) e w(x , y) 



3(7 



sono discoste fra loro per un numero che è maggiore o eguale a — - . Se il punto 



(x , y) , nel quale si verifica la disuguaglianza suddetta, è prossimo al contorno per 

 meno di d il distacco menzionato tra le due funzioni si verificherebbe almeno per 

 quella parte del cerchio, avente per centro (co , y) , che è contenuta nel campo : parte 

 che sarà sempre determinata e maggiore di una certa quantità fissa, determinato essendo 

 il contorno, che prendiamo privo di punti multipli e rettificabile. 



Ciò premesso, pongasi se è possibile che le funzioni y) siano in numero infinito. 



Le differenze tra esse sono ognuna, in qualche cerchio, o parte determinata del campo 



3(7 



di massima corda ò\ , maggiori o eguali sempre a - — L . Tali cerchi, o parti di campo, 



essendo così infiniti, vi è almeno un punto (co y) che appartiene a infiniti di essi. 

 In questo punto una delle funzioni y) , u(ce , y) , è dunque discosta da infinite delle 



3(7 



funzioni medesime per più di ' — - ì e giacché esse possono fare un' oscillazione mag- 



— & 



giore di - ' solamente in un cerchio di raggio maggiore di $, , così vi sarà tutto un 



cerchio «', o parte assegnabile del campo, intorno del punto (co Q y ) , nel quale esse 

 rimarranno discoste dalla u(x , y) medesima per più di a { . 



Delle differenze tra la u(x , y) e le funzioni ora menzionate ve ne saranno infinite 

 dello stesso segno, p. es. positivo e così tali infinite funzioni oltrepasseranno la u(x , y) 

 per più di e, in tutti i punti di una parte determinata o del campo C. 



