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Ed ecco che si rivela così 1' esistenza di una parte di spazio, almeno un cilindro 

 di base o' e altezza a l , dentro la quale non cade alcuna delle superfìcie la cui ordi- 

 nata z è il valore di qualcuna delle infinite funzioni ora dette. 



Si consideri ora il gruppo y) di queste ultime funzioni. Si può ragionare su esse, 

 come si è fatto sul gruppo y) , e si troverà, analogamente, 1' esistenza di una parte 

 di spazio, pur sempre maggiore di un numero fisso assegnabile, dentro il quale non 

 cade alcuna delle superfìcie, la cui ordinata è il valore di qualcuna delle funzioni del 

 gruppo /). 



E questo secondo spazio, evidentemente è del tutto esterno al primo già trovato. 



Così si potrebbe procedere indefinitamente, e trovare un numero illimitato di spazi, 

 tutti maggiori di una determinata quantità, e esterno a ognuno degli altri, e tutti 

 contenuti nello spazio finito, dentro il quale cadono tutte le nostre funzioni date : il 

 che è contradditorio. 



Le funzioni y) sono dunque in numero finito. 



Queste funzioni, che hanno la proprietà di essere, ognuna da ognuna delle altre, 

 discosta in qualche punto per piti di 2a x , si possono dunque contare e indicare con 



y) ufo , y) , ufo ,y),--> M- v > v) • 



Dei gruppi simili a questo se ne possono formare degli altri, e anche infiniti, ad 

 es. prendendo, in posto di quelle, funzioni vicinissime alle medesime. 



Ma scelto un gruppo y) , nella totalità delle funzioni date, non si troverà più alcun 

 altra funzione discosta da ognuna delle y) per più di 2a l in qualche punto. 



Da ciò deriva che se per le y) si considerino rispettivamente gli intorni qui sotto 

 indicati 



ufo , V) — 20-j . . . ufo , y) -+- So-, 



ufo ,y) — 2a 1 ... ufo , y) +- 2(T l 



u À fo > y) — 2a i ■- • u ifo > v) -•- 2(j i 



a 



dentro di essi sono contenute interamente tutte le funzioni componenti la varietà G 



In certo modo si segregano, nell' intero campo, un numero finito di intorni, di am- 

 piezza 4(7^ che contengono tutta la GÌ — \ : e di questi, uno almeno, contiene infinite 

 funzioni, le quali costituiranno una sotto-varietà di GÌ— l \ ; la indicheremo con G r l— L ] . 



Si fissino quegli intorni, ognuno di ampiezza -ìo^ , che contengono le sotto- varietà 

 infinite come la G r i — \. 



Per ciascuno di tali intorni si potrà ragionare, come si è fatto per l' intero campo : 

 provare cioè che in essi, funzioni discoste, ognuna da ognuna delle altre, per più eli 

 2a 2 non ve ne ha se non un numero finito, e così in ognuno dei primi intorni di 



