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ampiezza le. si segregherà un ninnerò finito di intorni, ognuno di ampiezza 4o\,, 

 dentro i quali, eccettuate al più alcune in numero finito, cadranno tutte le funzioni 



della sotto-varietà GÌ - 2 ] , le quali per ipotesi sono tra quelle della G\—r) ■ 



Si avrà così un numero finito di intorni di ampiezza 4<7 2 , che suddividono i pre- 

 cedenti, o almeno parte dei precedenti intorni di ampiezza 4cr 1 . 



Gli intorni di ampiezza 4rr 2 , che contengono infinite funzioni, con lo stesso pro- 

 cedimento si suddivideranno in parecchi intorni di ampiezza 4(T 3 ; e così indefinitamente. 



Vi è almeno uno dei primi intorni, che contiene uno dei secondi e questo uno dei 

 terzi e così via all' infinito. 



Si fornii ad es. la successione delle funzioni che sono gli estremi inferiori di 

 questi ora menzionati intorni 



^po , y) — 2a i , w{oc , y) — 2a 2 , t{x , y) — 2a 3 , . . . 



ovvero 1' altra degli estremi superiori 



u{x , y) -h 2(7, , w(x , y) -+- 2cr 2 , t{x , y) -f- 2ff 3 , . . . 



Notando, come sono scelte le funzioni 



u{x , y) , w(x , y) , t{oo ,y),... 



si vede bene che quelle due successioni hanno una funzione limite comune, che è 

 anche continua. 



Vi è un limite determinato e finito in ogni punto (a? , y) , perchè le differenze 



(r{x , y) — 2cr p ) — {q{x , y) — 2a s ) , 



tra due qualunque delle funzioni di una di quelle successioni se siamo abbastanza in- 

 nanzi nella successione medesima, è minore di quel numero che si vuole : che poi il 

 limite è lo stesso per le due successioni è evidente : e che esso è funzione continua, 

 si rileva da ciò, che se si indica questo limite con <$(&, y) si ha per ogni (x , y) 



I <P(- V , y) — (?(» , V) — 2°s) | < £ 



e essendo prefissato piccolo a piacere e la q[pc , y) — 2a s , una funzione, abbastanza 

 innanzi nella successione, la quale perciò in ogni area di massima corda d' oscillerà 

 al più per e: dimodoché ivi la (p(os , y) oscillerà al più per 3f. 

 Con ciò è provato quanto si voleva. 



2. Suppongasi che la varietà G si riduca a una successione ordinata 



«*,(», y), %( x , !/),-•■ 



Allora sarà verificata la condizione dell' enunciato precedente se, per ogni a, esiste 

 un' intero m e un numero positivo d tale che in ogni area di massima corda 2$, 



