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cioè l'oscillazione della «(.», y) , nel cerchio parte detta, può farsi piccola come vuoisi 



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all' impiccolire di questa : se si prende d < — si ha AÒL < o\ 



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Poiché ciò vale per qualsiasi funzione u(x , */), così rimane provata la loro eguale 

 continuità. 



5. Quando è verificata la condizione ora posta pei due rapporti incrementali, si 

 riconosce che la varietà di funzioni è tutta contenuta tra due numeri finiti, osservando 

 se tutte quante le funzioni, in un punto in un altro dal campo, assumono uno stesso 

 valore, almeno se è possibile formare un gruppo di numeri contenuto tra limiti finiti, 

 prendendo il valore di ciascuna funzione in un qualche punto ; giacche 1' oscillazione 

 in tutto il campo di ogni funzione è inferiore sempre ad un numero finito. 



6. Una varietà di funzioni egualmente continue, contenute tutte tra due numeri 

 l e L, ammette sempre una funzione limite superiore e una limite inferiore, ambedue 

 continue. 



Si fissi un punto (x , y) e ivi la perpendicolare al piano (a?, y) : su essa si avrà 

 un gruppo di punti, intersezioni delle z = z(x , y) componenti la varietà colla perpen- 

 dicolare ; e questo gruppo ammette un limite superiore. 



La funzione che in ogni punto (co, y) ha per valore questo limite superiore è la 

 funzione Z limite superiore, di che si tratta. 



Sia z Q il valore corrispondente ad un punto (x Q , y Q ) : si consideri il tratto z — a. . . s 

 sulla ordinata 2=2(3? y fì ). Esiste allora un cerchio di centro oc Q , y e di raggio d, 

 dentro cui ognuna delle funzioni della varietà G oscilla per meno di a ; quindi anche 

 i valori della Z in quel cerchio oscillano per meno di 2(7. La Z è dunque una fun- 

 zione continua. 



7. Se una successione di funzioni 



«*i(», y), u 2 (cg, 1/),... 



converge in egual grado ad una funzione limite continua v(x , y) , e f(oo, y , z) è una 

 funzione assolutamente continua in uno spazio D a tre dimensioni, la successione corri- 

 spondente 



f(co , y , u { (x , y)) , f(x , y , u 2 {x , y)) , . . . 



avrà per limite continuo f(co, y, v(x, y)"): ben inteso, supposto che il punto (a?, y, v(x, y)) 

 cada sempre dentro B. 



La dimostrazione è immediata. 



