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 e T oscillazione sarà ad es. : 



Ma la f(x, y, 3, q) è funzione assolutamente continua degli argomenti x,y,z,q: 

 V oscillazione di essa in e si può dunque far piccola come si vuole in corrispondenza 

 alla piccolezza delle oscillazioni degli argomenti medesimi in e ; cioè V oscillazione 

 della f(x, y, iJ J , '/'') dipende dalle differenze 



ip's+p-iiyt+r-i) — ip'siVt), 



e queste, come già si è veduto, si rendono sempre piccole a piacere, colla piccolezza 

 del rettangolo contenente e. 



4. Ciò stabilito, si considerino successive divisioni del campo 



y a <y< Y o 



in rettangoli /IxAy, ottenute via via con una determinata legge: ad es. per fissare 

 le idee, si possono immaginare le ripartizioni in rettangoli mediante divisione degli in- 

 tervalli x — X , y — Y Q in 2, 4, 8,... parti eguali: e a ciascuna ripartizione la 

 corrispondente superficie 2„ v ,.(a?, y) ; cioè formiamo la successione delle superficie 



d) 2 2)2 (a?, y), 2 4j4 (a?, y) . . . . 



Sia 0" un numero positivo prefissato piccolo a piacere. Dei numeri Z , Q , f il 



massimo sia G : prendendo piccole abbastanza le anzidette x p — x q e y r — y s si potrà 



sempre ottenere 



G \ 2(x p — x q ) -+- 2{y r — y s ) \ < a . 



Sia e un' area qualsiasi, suscettibile di essere contenuta in un rettangolo avente 

 per dimensioni rispettive quelle x p — x q , y r — y s . 



Si pensino le successive ripartizioni dianzi dette e le corrispondenti superficie 2 mm ' 

 si perverrà a una ripartizione siffatta,, che l' area e cadrà dentro uno dei rettangoli 

 che costituiscono questa ripartizione, ovvero, dentro un rettangolo composto di pa- 

 recchi di questi, e le cui dimensioni non superano le x p — x q , y r — y s soddisfacenti 

 alla disuguaglianza precedente. 



La 2, W)M1 come anche tutte le successive 2 2OT)2m , . . . fanno in e un 1 oscillazione 

 minore di a : per la proposizione 2 (par. 1) esse ammettono dunque una o più fun- 

 zioni limiti continui: una di queste, la indicheremo con 2 (a?, y) , e ad essa conver- 

 gerà in egual grado una successione estratta dalla d), ovvero questa medesima. 



Si vede bene che la 2 = 2 (a? , y) per x = x Q si riduce alla % = (p {y) : giacché 



