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le successive 2„ v „ , 2 2mj2m , . . • (*) toccano la .- % = <p {y) rispettivamente in m , 2m 

 punti uniformemente distribuiti. 



In corrispondenza alla successione delle 



abbiamo la successione delle 

 e F altra delle 



y y 



n-t-y T&y 



n+y n+-y 



ìm 5 



e per quanto si è detto prima circa le D^~2„ v „ , e JD £E m . m , le due successioni con- 

 vergeranno in egual grado a funzioni limiti continue 2ó y) e S^. 



Ricordiamo il teorema: se S.(x), S g (x) ,....■ S m (x) ,... . sono funzioni continue in un 

 intervallo a .... b e se è, per ogni x, lim S m (x),= S,(x) e S (x) è finita : se esistono le 



i m = o= 



derivate Sj(x), Sl(x) , . . . S'„ t (x) . . . . determinate e finite in ogni punto x, e se S'„(x) , 

 col crescere di m, converge in egual grado ad una funzione T (x), sicuramente è 



t q (x) = s' (x). 



Qui ci occorre dare una facile estensione. 



Le S[(x) , S[(x) , . . . S' m (x) , . . . esistano in a....b in ogni punto, ad eccezione di 

 un numero finito di punti per ognuna di esse, il quale numero finito possa però cre- 

 scere indefinitamente col crescere di m. Nei punti dove non esiste la derivata ordi- 

 naria di S m (x) , esista però la derivata a destra (**) determinata e finita : e così per 

 S' m (x) intenderemo ora che essa sia in ogni punto x la derivata ordinaria determinata e 

 finita di S m (x), tranne in alcuni punti in numero finito per ogni valore di m; nei quali 

 essa invece significa la derivata a destra. Tenuta ferma la condizione della conver- 

 genza in egual grado della S' m (x) così definita, si dimostra che la funzione limite T (x) 

 è, in ogni punto x , la derivata a destra della S (x) . 



Si ha, 



(!) 



S {x -hh) — S (x) _ _ SJx -+- h) — S m (x) 



essendo 



h h 



(Sm+pfa -+- h) — S m (x -t- h)) — (S m + P (x) — S m (x)) 

 "^ h 



ìt m _^_p_^_i\pC — 1— II) ■tlm-t-p-t-ìV*') 



h 



RM') — s {x) — s m {x) . 



(*) Per semplicità di scrittura prendiamo che sia la stessa successione 3) che converge alla unica 



SoO» . y)- 



(**) Si potrebbe supporre quella a sinistra. 



