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Si fissi il solito numero a piccolo a piacere : si troverà un intero m tale che 

 per qualunque oc sia 



I T (x) — S'Jto) | < a ■ 



Ora fissato un punto x si può trovare un suo intorno a destra tale che per x -+- h preso 

 in essa sia 



S m {x -4- h) — S m {x) 



h 



8\A*>) 



<(T. 



Inoltre, si osservi che se una funzione 6(x) manca di derivata ordinaria solo in r 

 punti x v , x. 1 ....x r di «....&, si avrà, anche se a e 6 sono fra essi: 



00»,) — dia) = (a», — a)0'(a -+- ^(aj, — a) con < ip < 1 



0{& 2 ) — @(°°ù — ( ;V 2 — X \)Q\ X \ "+- y'( x 2 ~ ^ì)) con < ^ < 1 



0(a? 3 ; — 0(a? 2 ) — (a- 3 — .^ 2 )0'(a- 2 -f- ;/'(^ 3 — a? 2 )) 



0(6) — 0(a? r ) = (6 — a? r )0'(av-+- ^(ft — a? r )) 

 donde 



0(6) — 0(a) = (6 — a) j '^^ 0'(a H- /?(.r — a)) -+-.,. -+- I ^^6'(x r -Ht ? ^(b—x r ) j 



ma e 



CO , ' CI ' oc** 



1 ^_ _L =1 



6 — a 6 — a 



quindi 



0(6) — 0(a) 

 6 — a 



ha un valore compreso fra il massimo e il minimo dei valori della 0'(x). 

 In virtù di questa osservazione il termine 



(£m-Hp(a? -I- h) — S m (x -+- A)) — (S m + p (oc) — S m {x)) 



h 



qualunque siano m ed m -+- p avrà sempre un valore compreso tra il massimo e il 

 minimo di quelli che assume la 



S' m + P (x) — S' m (x) 



e poiché questa, a cagione della convergenza in egual grado, è compresa tra — 2(7 

 e 2(7, altrettanto accadrà dal rapporto precedente. 



Per il valore x che si considera e per ogni h fissato, prendendo p abbastanza 

 grande, possono poi rendersi ognuno, minore di a, i due termini 



~h "' h 



