— 139 — 



e così anche il terzo termine dell'eguaglianza 1) minore, in valore assoluto di 2(7. 



Resulta infine che tutto il secondo membro della 1) per li abbastanza piccolo e 

 positivo differisce dalla T Q {x) per meno di 6a. 



È dunque provato che in ogni punto x si ha 



i» = uà, ' s '" ( ''' + * ~ s « (iC) 



/i = + 



il 



Del resto potevamo anche, più rapidamente, valerci di qualcuno dei teoremi che 

 il Dini dà alla pag. 112, 113 dei suoi Fondamenti quando nelle ipotesi vi si in- 

 troducono le opportune lievissime modificazioni. 



Tutto questo trova applicazione al caso che ci interessa. 



Le 



.» * J m ì m j ±J x '- J 2m > im i • • • 



sono, come subito si vede, derivate ordinarie, eccezione fatta per m , 2m , . . . punti 

 rispettivamente, nei quali sono derivate a destra : altrettanto dicasi delle 



AJ y t-mjm i J y '- J 2mfim j • • * 



Le funzioni limiti 



sono dunque le derivate a destra in ogni punto, eccettuati, ben inteso, i punti delle 

 rette estreme ce = X^, y =■ Y ; ma 2jf e 2^ sono funzioni continue in tutto il 

 campo: esse dunque (Dini, Fondamenti pag. 196, 197) sono le derivate ordinarie 

 in x e in y finite e continue della 2 (a?, y) . 



Osserviamo infine che come la successione delle 



n-t-y n + y 



.e ^ J >«,m ? ■ L, x ^ J 2ìri,-2m > • • • 



^2(.r y) 

 converge in egual grado alla funzione continua H\f\x , y) = — ^— - - così 1' altra 



i oc 



f(x, y, 2 mjm (a?, y), B£2 mj Joc ; y)) , f(.v , y, l- 2mtim (os , y), D^. 2m . 2m (x, y)) , . . . 



per la proposizione 7 (par. 1) converge in egual grado alla funzione continua 



fico, y, 2 (. V , y), 2™(x, y))=f(x, y, \{x, y) , * ^ V) } : 

 se si tien conto poi che in nr punti si ha 



**x —'m,m —— t\p° ì V i 2-iin.m i "y ^m^n) > 



in Ani 2 si ha 



