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e così via, e che gli wr, 4»i~, . . . punti sono nel campo distribuiti uniformemente, 

 per la proposizione 8 (par. 1) si conclude che è in ogni punto (a?, y) 



L' esistenza della funzione atta a soddisfare 1' equazione proposta è così pienamente 

 dimostrata. 



Osserv. I. - Nella varietà delle 



v ) ^2.2 j ^'4,4 ? 2 88 , . . . 



si voglia sceverare una successione che converge a una delle funzioni limiti continue, 

 se ve ne sono più. 



Si può seguire il procedimento tenuto nella dimostrazione del teorema generale 

 al par. 1. 



Sia fissato un numero positivo a e il conseguente raggio r del cerchio, dentro il 

 quale le funzioni oscillano al più per a : quelle tra esse che differiscono, ognuna da 

 ognuna delle altre per più di a in qualche punto, sono in numero finito p dipendente 

 dalle dimensioni del campo in cui sono contenute le funzioni della varietà e dai nu- 

 meri a - e r. 



Si scelga un gruppo formato da p funzioni cosifatte. Allora dentro i p intorni di 

 ampiezza 4(7, determinati per queste, cadono tutte le funzioni della varietà : si consideri 

 uno di questi intorni che ne contiene infinite e per tale intorno si proceda, mediante 



o 



un numero - preso in posto di <t, come si è fatto per 1 intiero campo. 



Così, nei successivi intorni contenuti ognuno nel precedente, prendendo una delle 

 funzioni, ad es. quella col più piccolo indice, si ottiene una determinata successione 

 che sicuramente converge in egual grado ad una unica funzione limite continua. 



A questo scopo è utile osservare che se le funzioni, diremo così, iniziali 



che sono egualmente continue, insieme con le loro derivate, sono scelte in modo da 

 ammettere una unica funzione limite, anche le altre 



<P (y)> &(y)» tó/)>--- 



convergeranno ad un' unica funzione limite : e allora le funzioni 



convengono pure ad un' unica funzione limite continua. 

 Ciò non è difficile a dimostrare. 



