— 144 — 



per quali classi lineari di funzioni ^ i primi membri delle equazioni (a) e (b) 

 hanno significato ? 



qnalo insieme per la funzione f(x) corrisponde, in forza delle relazioni (a) o (b), 

 alle funzioni (p(t) appartenenti ad un insieme dato? 



e, in seguito a queste, in quale insieme va scelta f(x) se si vuole che le dette 

 equazioni abbiano una, o più, soluzioni ? 



Simili domande mettono in chiaro la necessità di considerare, accanto alle equa- 

 zioni, anche le operazioni funzionali espresse dai primi membri delle (a) e (b) : 

 nello stesso modo che per la risoluzione di un' equazione 



f(x) = a 



è opportuno di conoscere, in precedenza, le proprietà della funzione f{x). Queste pro- 

 prietà possono essere di grandezza o di forma, di natura quantitativa o qualitativa : 

 prevalenti le prime nel campo reale, le seconde nella considerazione di operazioni ap- 

 plicate a funzioni analitiche. Alle prime è da ascriversi la continuità, come è definita 

 ad esempio dall' Hadamard ! *- ; alle seconde i teoremi di Cauchy sugl'integrali curvilinei, 

 lo studio delle funzioni determinanti ( ** ! , ecc. I due punti di vista hanno importanza 

 diversa nei diversi ordini di questioni, ma non si può dire che fimo soverchi l'altro: 

 essi possono giovarsi a vicenda, come a vicenda si giovano la teoria delle funzioni 

 analitiche e quella delle funzioni di variabile reale. 



La proprietà essenziale della operazioni espresse dai primi membri delle (a) e (b) 

 e quella di essere distributive — o lineari — rispetto all' elemento variabile <p(t). 

 Indicando con ,4 un' operazione distributiva generica, quelle equazioni rientrano nei tipi 



(e) A(Cp)=f, ( p — j iA (0)=f, 



ai quali si aggiungerebbero facilmente tipi più generali ; daremo loro il nome di 

 equazioni funzionali lineari. 



A proposito del doppio punto di vista, qualitativo e quantitativo, sotto cui si pos- 

 sono studiare le operazioni distributive, torna acconcia una osservazione. Sotto al primo 

 punto di vista, ha grandissima importanza l'operazione di derivazione, che si può ri- 

 guardare come elemento costitutivo del calcolo di codeste operazioni : tanto che quel 

 calcolo si può ritenere generato, per così dire, dall'aggiunzione dell" operazione D 

 di derivazione alle operazioni del calcolo algebrico elementare. Le operazioni distribu- 

 tive di carattere più elementare sono, sotto a questo punto di vista, le forme diffe- 

 renziali, la cui teoria presenta notoriamente le più strette analogie con quelle delle 

 funzioni razionali intere ; le serie di potenze di D, loro immediata generalizzazione, 

 servono poi a dare l' espressione generale delle operazioni distributive applicabili a 

 tutte lo funzioni analitiche di un campo, mentre esse presentano sulle ordinarie serie 

 di potenze della teoria delle funzioni, il vantaggio di possedere sempre un campo di 



(*) Comptes Rendus, février 1903. 



(**) V. la mia memoria: Sur les fonctions déterminantes, Ann. de l'Éc. Normale sapcrieure, 

 S. Ili, T. XXI, p. (1S05). 



