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convergenza '*'. Invece, nelle considerazioni di indole quantitativa, è minore questa 

 importanza ; ad esempio, l' operazione D stessa non gode necessariamente della continuità, 

 'e quindi, nella nomenclatura dell' Hadamard, non le competerebbe il nome di operazione 

 lineare, nome con cui questo Autore ha creduto di dovere distinguere le operazioni 

 continue. Questa restrizione non scema certamente 1' ufficio fondamentale dell' operazione 

 I) nello studio qualitativo e nella classificazione delle operazioni distributive : nel quale 

 ordine di idee è più limitata invece l' importanza del concetto di continuità. 



Le operazioni funzionali distributive stanno a rappresentare l'estensione, al campo 

 trascendente, delle omografie di uno spazio lineare ad n dimensione. In questo ordine 

 di idee, un insieme di infinite funzioni, quale ad esempio la totalità delle funzioni 

 analitiche regolari neh' intorno di uno stesso punto, può riguardarsi come la realizza- 

 zione dello spazio generale del Veronese ; ogni operazione lineare definita per questo 

 spazio si riduce, per il caso di un insieme lineare ad n dimensioni contenuto nello 

 spazio medesimo, ad una ordinaria omografia. L' analogia che ne risulta fra il problema 

 algebrico ed il trascendente potrà essere utile guida nello studio delle equazioni funzio- 

 nali quali le precedenti ; così, la prima delle (e) s' interpreterà come ricerca dell' in- 

 versa della omografia A ; la seconda delle (e) come determinazione delle inverse delle 

 omografie del fascio 1 — hA. Codesta analogia è utile, in particolare, nello studio tanto 

 essenziale degli elementi invarianti (radici dell" equazione (p — kA(<p)=^Q) in spazi so- 

 vrapposti ; è allo scopo di mantenerla che ho convenuto, in lavori anteriori, di rap- 

 presentare il soggetto (p ed il risultato A(p) come funzioni di una medesima lettera '**': 

 convenzione che, del resto, non ha nulla di necessario. 



In questa nota, ini sono proposto di ricercare il legame che i metodi di risolu- 

 zione dell'equazione (b) dati dal Le Roux, dal Volterra '***>, dal Picard '****>, e 

 dal Fredholm hanno di comune fra di loro e colla teoria generale delle operazioni 

 lineari. Codesto legame, come si vedrà, è posto chiaramente in luce dall'uso metodico 

 dei simboli operatori, che mostrerà una volta di più il vantaggio che offre 1' impiego 

 delle serie di potenze di tali simboli. Risulterà ancora evidente l' importanza degli 

 elementi invarianti dell' operazione — punti uniti dell' omografia — il cui ufficio non 

 era stato reso manifesto dagli Autori fin qui citati, ad eccezione dell' Hilbert (*****>; 

 la presenza di questi elementi vale ad interrompere la convergenza delle serie suddette, 

 nello stesso modo che la presenza di un polo interrompe quella di una ordinaria serie 

 di potenze. Infine, mentre nei casi trattati dagli accennati Autori codesti elementi inva- 

 rianti formano un sistema discreto, si danno campi funzionali nei quali essi possono 

 costituire invece insieme continui : proprietà che differenzia in modo essenziale il caso 

 trascendente da quello delle omografie negli spazi ad un numero finito di dimensioni. 



(*) Pincherle e Amaldi : Le operazioni distributive ecc., p. 90. (Bologna, 1901). 



(**) Ciò, a proposito di una osservazione di Hadamard nella citata nota dei Comptes Rendus. 



(***) Ann. de V Éc. Normale S. IH, T. XII, p. 244 (1895). Questo A. risolve propriamente il 

 problema dell'inversione d'integrale fra limiti variabili, ma esso si riconduce facilmente all'equazione {!>). 

 In Jour. de Math. , S. HI, T. VI, 1900, p. 412, estende il problema al caso di più variabili, 



(****) Comptes Rendus, T. 139, p. 245. 



(*****) Goti. Nachrichten, 1904, p. 57. 



